Geometria iperbolica e... piacere!
Ciao a tutti! Sono nuova, piacere a tutti! Io mi chiamo Lorenza! Trovo questo forum davvero utile e interessante! E inizio già col postare un esercizio che ho quasi risolto, ma di cui vorrei avere una conferma. Spero ci sia qualche "santo" che avrà la pazienza di rispondere alle mie domande.. 
Ecco il testo dell'esercizio: Nello spazio iperbolico $H^2 subset RR^{2,1}$, si definisca il cerchio di raggio $r$ e centro $x_0$, $C_{x_0,r}:=\{x in H^2 | d(x_0,x)=r\}$, dove $d$ denota la distanza iperbolica ($d(x_0,x)=arcosh( -)$). Qual è la lunghezza di un a circonferenza di raggio $r$?
Il suggerimento è che basta considerare i cerchi con centro $P=(0,0,1)$.
Allora ecco come avrei risolto:
Per definizione so che $C_{P,r}:=\{x in H^2 | d(P,x)=r\}$, allora analizzo cosa vuol dire $d(P,x)=r$:
$d(P,x)=r Leftrightarrow ln( - + sqrt(^2-1))=r$, dove $P=(0,0,1)$ e $x=(x_1,x_2,x_3)$, quindi ottengo $ln(x_3+sqrt(x_3^2-1))=r$, allora ho che $x_3+sqrt(x_3^2-1)=e^r$ e quindi $x_3=frac{e^{2r}+1}{e^r}$. Inoltre devo porre la condizione di appartenza del punto $x$ a $H^2$, quindi ottengo $x_1^2+x_2^2=(frac{1+e^{2r}}{e^r})^2$, ora questa equazione è anche l'equaizone di un cerchio sul piano $x_3=0$ e mi chiedevo se era lecito considerarla in questo modo, perchè allora potrei concludere che la lunghezza della circonferenza di raggio $r$ è $2 pi frac{1+e^{2r}}{e^r}$. secondo voi?
e un'altra domanda: come mai basta considerare i cerchi con centro P?
Ecco il testo dell'esercizio: Nello spazio iperbolico $H^2 subset RR^{2,1}$, si definisca il cerchio di raggio $r$ e centro $x_0$, $C_{x_0,r}:=\{x in H^2 | d(x_0,x)=r\}$, dove $d$ denota la distanza iperbolica ($d(x_0,x)=arcosh( -
Il suggerimento è che basta considerare i cerchi con centro $P=(0,0,1)$.
Allora ecco come avrei risolto:
Per definizione so che $C_{P,r}:=\{x in H^2 | d(P,x)=r\}$, allora analizzo cosa vuol dire $d(P,x)=r$:
$d(P,x)=r Leftrightarrow ln( -
e un'altra domanda: come mai basta considerare i cerchi con centro P?
Risposte
uff... ne deduco che nessuno mi sa aiutare!
eh no, purtroppo non è un messaggio d'aiuto;
comunque, visto che sei nuova ci tenevo a salutarti
Ciao ciao e buona notte!
[ah, però se non hai fretta, il semestre prossimo dovrei seguire un corso di geometria iperbolica....
]
comunque, visto che sei nuova ci tenevo a salutarti
Ciao ciao e buona notte!
[ah, però se non hai fretta, il semestre prossimo dovrei seguire un corso di geometria iperbolica....
]
Benvenuta sul forum, Lorenza!
Purtroppo non sono ferrato in Geometria Iperbolica, ma se provi a postare la definizione del tuo spazio $H^2$ forse potrei riuscire ad aiutarti.
Il ragionamento che fai, ad ogni modo, mi sembra pulito: come dicevi tu servirebbe una conferma.
Purtroppo non sono ferrato in Geometria Iperbolica, ma se provi a postare la definizione del tuo spazio $H^2$ forse potrei riuscire ad aiutarti.
Il ragionamento che fai, ad ogni modo, mi sembra pulito: come dicevi tu servirebbe una conferma.
grazie delle risposte!
$H^2=\{x in RR^{2,1} | =-1, x_{n+1}>0\}$
grazie mille
$H^2=\{x in RR^{2,1} |
grazie mille
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