Geometria, equazione del piano....
salve a tutti.......vi posto un quesito di geometria:
determinare il piano β passante per $P(x_1,y_1,z_1)$ e contenente r: $\{(x=x_2+l t),(y=y_2+m t),(z=z_2+n t):}$
mi aiutate?? nn riesco a risolverlo,grazie........
determinare il piano β passante per $P(x_1,y_1,z_1)$ e contenente r: $\{(x=x_2+l t),(y=y_2+m t),(z=z_2+n t):}$
mi aiutate?? nn riesco a risolverlo,grazie........
Risposte
i piani per il punto P sono $a (x-x_1) + b (y-y_1) + c (z-z_1) = 0$ .............
ma affinchè contenga r cosa devo fare??
ma affinchè contenga r cosa devo fare??
se la retta fosse: r:$\{(ax+by+cz+d=0),(a'x+b'y+c'z+d'=0):}$
i piani che contengono $r$ sono quelli di equazione $\lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d')=0$
i piani che contengono $r$ sono quelli di equazione $\lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d')=0$
la posso trasformare in $(x-a)/l=(y-b)/m=(z-c)/n$ e poi giungo a quella conclusione ..........................secondo voi è corretto?
rispondete
La retta ha vettore direzionale (1,1,1).
UN altro vettore che apparterebbe a questo piano che conterrebbe retta e punto sarebbe $P-P_0= (x_1-x_2);(y_1-y_2);(z_1-z_2)$. Fai il prodotto vettoriale di questo con (1;1;1) per ottenere il vettore normale al piano fai il determinante $|(i,j,k), (x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2),(1,1,1)|= (y_1-y_2-z_1+z_2);-(x_1-x_2-z_1+z_2);(x_1-x-2-y_1+y_2)$.
Questo è il vettore normale al piano che quindi ha equazione $(y_1-y_2-z_1+z_2)x-(x_1-x_2-z_1+z_2)y+(x_1-x-2-y_1+y_2)z= k$ dove k è un numero che , se imponi il passaggio per il punto $P$ o $P_0$ vedrai che vale 0.
Perciò il piano cercato è $(y_1-y_2-z_1+z_2)x-(x_1-x_2-z_1+z_2)y+(x_1-x_2-y_1+y_2)z=0$
UN altro vettore che apparterebbe a questo piano che conterrebbe retta e punto sarebbe $P-P_0= (x_1-x_2);(y_1-y_2);(z_1-z_2)$. Fai il prodotto vettoriale di questo con (1;1;1) per ottenere il vettore normale al piano fai il determinante $|(i,j,k), (x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2),(1,1,1)|= (y_1-y_2-z_1+z_2);-(x_1-x_2-z_1+z_2);(x_1-x-2-y_1+y_2)$.
Questo è il vettore normale al piano che quindi ha equazione $(y_1-y_2-z_1+z_2)x-(x_1-x_2-z_1+z_2)y+(x_1-x-2-y_1+y_2)z= k$ dove k è un numero che , se imponi il passaggio per il punto $P$ o $P_0$ vedrai che vale 0.
Perciò il piano cercato è $(y_1-y_2-z_1+z_2)x-(x_1-x_2-z_1+z_2)y+(x_1-x_2-y_1+y_2)z=0$
scusa ma nn ho capito!!!!
cosa non hai capito?
tutto....
Allora la retta ha come vettore direzioanle ad esempio (1 1 1) ok? fin qui mi sembra banale lo vedi dalla parametrizzazione che hai dato...guarda i coefficienti della t, quelli sono i vettori direzionali, definiti a meno di un fattore l, perciò da (l l l) io ho preso ad esempio quello che mi piaceva di più (1 1 1). Cerchiamo ora un generico piano che soddisfi queste tue richieste. POtremo farlo trovando un qualsiasi piano e poi imponendo il passaggio per uno dei due punti da te dati.
Il vettore direzionale dovrà eser contenuto nel tuo piano no? e così anche l'altro vettore che congiunge i due punti (x1 y1 z1) e (x2 y2 z2)......questi vettori appartengono al piano, sono quindi complanari, e il loro prodotto vettore è un vettore normale a questi due. Questo sarà il vettore normale al piano cercato, che ha come noto equazione lineare in x y z con i coefficenti di x y z rle rispettive componenti del vettore normale.
Eguagliando quest'equazione a k, ottieni così il fascio di piani paralleli che contiene i vettori direzionali di prima...imponi il passaggio di uno dei due punti per cercare il piano particolare da te chiesto e ottieni il valora di k, che in questo caso è 0. Puoi verificare se passa anche per l'altro punto, quello con cui definisci la retta (x2 y2 z2) e vedi che contiene anche quello. Tutto fila.
Chiaro?;-) Ciao
Il vettore direzionale dovrà eser contenuto nel tuo piano no? e così anche l'altro vettore che congiunge i due punti (x1 y1 z1) e (x2 y2 z2)......questi vettori appartengono al piano, sono quindi complanari, e il loro prodotto vettore è un vettore normale a questi due. Questo sarà il vettore normale al piano cercato, che ha come noto equazione lineare in x y z con i coefficenti di x y z rle rispettive componenti del vettore normale.
Eguagliando quest'equazione a k, ottieni così il fascio di piani paralleli che contiene i vettori direzionali di prima...imponi il passaggio di uno dei due punti per cercare il piano particolare da te chiesto e ottieni il valora di k, che in questo caso è 0. Puoi verificare se passa anche per l'altro punto, quello con cui definisci la retta (x2 y2 z2) e vedi che contiene anche quello. Tutto fila.
Chiaro?;-) Ciao
Allora la retta ha come vettore direzioanle ad esempio (1 1 1) ok? fin qui mi sembra banale lo vedi dalla parametrizzazione che hai dato...guarda i coefficienti della t, quelli sono i vettori direzionali, definiti a meno di un fattore l, perciò da (l l l) io ho preso ad esempio quello che mi piaceva di più (1 1 1). Cerchiamo ora un generico piano che soddisfi queste tue richieste. POtremo farlo trovando un qualsiasi piano e poi imponendo il passaggio per uno dei due punti da te dati.
Il vettore direzionale dovrà eser contenuto nel tuo piano no? e così anche l'altro vettore che congiunge i due punti (x1 y1 z1) e (x2 y2 z2)......questi vettori appartengono al piano, sono quindi complanari, e il loro prodotto vettore è un vettore normale a questi due. Questo sarà il vettore normale al piano cercato, che ha come noto equazione lineare in x y z con i coefficenti di x y z rle rispettive componenti del vettore normale.
Eguagliando quest'equazione a k, ottieni così il fascio di piani paralleli che contiene i vettori direzionali di prima...imponi il passaggio per uno dei due punti per cercare il piano particolare da te chiesto e ottieni il valora di k, che in questo caso è 0. Puoi verificare se passa anche per l'altro punto, quello con cui definisci la retta (x2 y2 z2) e vedi che contiene anche quello. Tutto fila.
Chiaro?;-) Ciao
Il vettore direzionale dovrà eser contenuto nel tuo piano no? e così anche l'altro vettore che congiunge i due punti (x1 y1 z1) e (x2 y2 z2)......questi vettori appartengono al piano, sono quindi complanari, e il loro prodotto vettore è un vettore normale a questi due. Questo sarà il vettore normale al piano cercato, che ha come noto equazione lineare in x y z con i coefficenti di x y z rle rispettive componenti del vettore normale.
Eguagliando quest'equazione a k, ottieni così il fascio di piani paralleli che contiene i vettori direzionali di prima...imponi il passaggio per uno dei due punti per cercare il piano particolare da te chiesto e ottieni il valora di k, che in questo caso è 0. Puoi verificare se passa anche per l'altro punto, quello con cui definisci la retta (x2 y2 z2) e vedi che contiene anche quello. Tutto fila.
Chiaro?;-) Ciao
"antani":
Allora la retta ha come vettore direzioanle ad esempio (1 1 1) ok?
scusa ma xchè non usi ciò che c'è nella traccia....
perchè non è nella traccia???
scusa ma avevo sbagliato a scrivere ...... il vettore è $(l,m,n)$ .........prima avevo scritto $l$ non $1$!!!
beh scusa per l diverso da 0, (e lo è perchè altrimenti sarebbe un punto e non una retta) il vettore l l l lo puoi scrivere come l(1 1 1) che dimostra che tutti i vettori direzionali di questo tipo identificano la stessa direzione, essendo tutti linearmente dipendenti...non la sapevi sta cosa? 2 2 2, o 1 1 1, o $pi pi pi$ rappresentano la stessa direzione...
ti sto dicendo che il vettore non è $(l,l,l)$ ma $(l,m,n)$....... cmq se lo sai risolvere scrivi il procedimento con quei dati........li ho messi a posta xchè rappresentano qualsiasi valore........altrimenti mettevo io il valore numerico!!!! grazie...
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