Geometria e teoria degli insiemi
Salve a tutti, ho un grosso dubbio che sto cercando di risolvere da giorni ma non riesco a trovare una soluzione.
Non riesco a capire quando e come la geometria si è legata con la teoria degli insiemi a tal punto da utilizzare le stesse notazioni (appartenenza, intersezione, unione, ...) e da parlare di "funzioni tra insiemi di punti" (le trasformazioni geometriche).
Mi spiego meglio.
Con gli assiomi di Hilbert i concetti primitivi quali punti, rette e piani risultano avere una natura TOTALMENTE DIVERSA, infatti lui non parla mai di rette e piani come insieme di punti ma come "cose" su cui i punti "giacciono". inoltre per definire i segmenti o le figure in genere parla si "serie di punti su ...".
Il problema sorge quando si parla di endofunzioni del piano (trasformazioni geometriche), dando per scontato il fatto che il piano è un insieme, o nella visione del piano come "spazio affine" (INSIEME di punti take che esiste una FUNZIONE $ AxxA->V $ tale che ...).
Ho pensato fosse un'abuso di notazione riferendosi implicitamente al modello euclideo nella teoria degli insiemi (il piano come $ RR^2 $ ), ma non può essere così visto che quest'ultimo fatto (il piano come spazio affine) è proprio il passaggio per definire la biiezione con l'insieme delle coppie ordinate, e non avrebbe senso vederlo già come tale!!
Spero possiate aiutarmi.
Non riesco a capire quando e come la geometria si è legata con la teoria degli insiemi a tal punto da utilizzare le stesse notazioni (appartenenza, intersezione, unione, ...) e da parlare di "funzioni tra insiemi di punti" (le trasformazioni geometriche).
Mi spiego meglio.
Con gli assiomi di Hilbert i concetti primitivi quali punti, rette e piani risultano avere una natura TOTALMENTE DIVERSA, infatti lui non parla mai di rette e piani come insieme di punti ma come "cose" su cui i punti "giacciono". inoltre per definire i segmenti o le figure in genere parla si "serie di punti su ...".
Il problema sorge quando si parla di endofunzioni del piano (trasformazioni geometriche), dando per scontato il fatto che il piano è un insieme, o nella visione del piano come "spazio affine" (INSIEME di punti take che esiste una FUNZIONE $ AxxA->V $ tale che ...).
Ho pensato fosse un'abuso di notazione riferendosi implicitamente al modello euclideo nella teoria degli insiemi (il piano come $ RR^2 $ ), ma non può essere così visto che quest'ultimo fatto (il piano come spazio affine) è proprio il passaggio per definire la biiezione con l'insieme delle coppie ordinate, e non avrebbe senso vederlo già come tale!!
Spero possiate aiutarmi.
Risposte
"Pierlu11":
Non riesco a capire quando e come la geometria si è legata con la teoria degli insiemi a tal punto da utilizzare le stesse notazioni (appartenenza, intersezione, unione, ...) e da parlare di "funzioni tra insiemi di punti" (le trasformazioni geometriche).
Cioè stai chiedendo quando storicamente si è iniziato ad usare un approccio diverso da quello euclideo?
No, diverso da quello di Hilbert (per quanto riguarda gli enti primitivi che "diventano" INSIEMI di punti). Oltre al quando anche il come...
Beh, oserei dire che è iniziato ben prima degli assiomi di Hilbert, o per lo meno era già in uso tra i contemporanei di Hilbert e sicuramente Hilbert stesso la usava abitualmente (nelle sue altre ricerche[nota]Che dal punto di vista del matematico moderno sono molto più importanti[/nota]). A essere precisi, penso che Hilbert stesso considerasse i discorsi sugli assiomi più un argomento di logica matematica che di geometria.
Seppur l'approccio algebrico si sia sviluppato più o meno al tempo di Hilbert o pochi decenni prima, l'approccio analitico alla geometria è nato penso tra il 600 e il 700. Non sono un esperto di storia della matematica, vado abbastanza a memoria. Se ti interessa la storia della matematica dovresti leggerti il Boyer.
Se invece ti riferisci ad una questione di simboli allora penso che si siano fissati tra l'800 e il '900.
Seppur l'approccio algebrico si sia sviluppato più o meno al tempo di Hilbert o pochi decenni prima, l'approccio analitico alla geometria è nato penso tra il 600 e il 700. Non sono un esperto di storia della matematica, vado abbastanza a memoria. Se ti interessa la storia della matematica dovresti leggerti il Boyer.
Se invece ti riferisci ad una questione di simboli allora penso che si siano fissati tra l'800 e il '900.
Ti ringrazio per il riferimento bibliografico consigliato!
Più che altro sono interessato a sapere come si può formalizzare il concetto di funzione tra "punti del piano" (trasformazioni, operazione che rende il piano uno spazio affine, ...) e, ancora più importante, il concetto di insieme di segmenti (in modo da poter arrivare a definire il vettore geometrico).
Più che altro sono interessato a sapere come si può formalizzare il concetto di funzione tra "punti del piano" (trasformazioni, operazione che rende il piano uno spazio affine, ...) e, ancora più importante, il concetto di insieme di segmenti (in modo da poter arrivare a definire il vettore geometrico).
"Pierlu11":
e, ancora più importante, il concetto di insieme di segmenti (in modo da poter arrivare a definire il vettore geometrico).
Questo lo puoi trovare nei primi due capitoli del libro "Marco Abate - Geometria". Non c'è nessun riferimento storico, è semplicemente una spiegazione del passaggio dalla geometria euclidea all'introduzione dei vettori.
Relativamente a quello potresti dare un'occhiata ai libri di coxeter. In particolare a geometry revisited.
Sul Coxeter non ho trovato nulla riguardo la formalizzazione delle trasformazioni che vengono presentate come "applicazioni tra punti del piano" riportandomi al problema che mi sono posto. L'Abate dovrei reperirlo in biblioteca e gli darò un'occhiata...
se però potete accennare voi alla soluzione del mio problema visto che conoscete le foti ve ne sarei grato, è da parecchi giorni che ci sto pensando...
se però potete accennare voi alla soluzione del mio problema visto che conoscete le foti ve ne sarei grato, è da parecchi giorni che ci sto pensando...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo