Geometria differenziale: geodetiche
Salve a tutti, sto studiando geometria differenziale e avrei un dubbio riguardante le geodetiche su una superficie di [tex]R^3[/tex]:
Per definizione una geodetica e' una curva su una superficie, per cui vale che la curvatura geodetica [tex]k_g[/tex] e' nulla su tutti i punti appartenenti alla curva (parametrizzata con qualsiasi parametro generico t). Sui libri leggo inoltre che una geodetica e' caratterizzata dal fatto che il modulo del vettore velocita' e' costante, ma qualcosa qui non torna. Se ad esempio prendiamo la superficie descritta dalla funzione [tex]z=x^2+y^2[/tex], notiamo che fra le geodetiche ci sono delle parabole che ovviamente non hanno il modulo del vettore velocita' costante. Come e' possibile cio'? C'entra qualche cosa la parametrizzazione con il parametro naturale s?
Per definizione una geodetica e' una curva su una superficie, per cui vale che la curvatura geodetica [tex]k_g[/tex] e' nulla su tutti i punti appartenenti alla curva (parametrizzata con qualsiasi parametro generico t). Sui libri leggo inoltre che una geodetica e' caratterizzata dal fatto che il modulo del vettore velocita' e' costante, ma qualcosa qui non torna. Se ad esempio prendiamo la superficie descritta dalla funzione [tex]z=x^2+y^2[/tex], notiamo che fra le geodetiche ci sono delle parabole che ovviamente non hanno il modulo del vettore velocita' costante. Come e' possibile cio'? C'entra qualche cosa la parametrizzazione con il parametro naturale s?
Risposte
Semplicemente, quelle parabole non saranno geodetiche, sebbene la loro immagine sia il sostegno di una geodetica. In questo contesto, non ci interessa solo l'immagine della curva, ma anche la velocità con cui è percorsa.
Quindi sì, se riparametrizzi quelle particolari parabole con ascissa curvilinea otterrai delle curve con derivata covariante nulla e quindi geodetiche.
Quindi sì, se riparametrizzi quelle particolari parabole con ascissa curvilinea otterrai delle curve con derivata covariante nulla e quindi geodetiche.
La condizione giusta per essere geodetica è che il vettore accelerazione sia sempre normale alla superficie. Non ogni curva con modulo della velocità costante è una geodetica...
"maurer":
Quindi sì, se riparametrizzi quelle particolari parabole con ascissa curvilinea otterrai delle curve con derivata covariante nulla e quindi geodetiche.
Derivata covariante nulla = vettore accelerazione normale alla superficie.
Con "quelle particolari parabole" intendevo quelle cui si riferiva Galoisfan. E immagino che siano quelle corrispondenti alle sezioni normali per il vertice del paraboloide. Quando vengono riparametrizzate con ascissa curvilinea, quelle diventano effettivamente delle geodetiche della superficie.
Risposte veramente chiare ed esaustive, grazie anche se purtroppo a causa della mia ignoranza non ho afferrato veramente a fondo il concetto di derivata covariante. Il dubbio e' stato chiarito comunque.
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