Geometria differenziale e varietà
Avrei un paio di questioni da risolvere che c'entrano con topologia e geometria differenziale.
1)
Se $M$ è una varietà infinitamente differenziabile ($C^{infty}$ - manifold), provare che se $M$ è connesso, allora è anche connesso per archi.
Siano $p, q in M$. Il mio intento è costruire un cammino conitnuo che collega questi due punti in $M$. Non so proprio da dove iniziare, e non so come sfruttare la definizione di connesso...
2)
Trovare un'isometria locale tra l'elicoide e il catenoide.
Dimostrare che curvatura gaussiana è invariante rispetto all'isometria.
Anche qui non capisco da dove partire. Un isometria locale è una funzione $phi$ per cui esiste un intorno $U$ di ogni punto per cui $phi|U : U \to phi(U)$ è una isometria.
Come faccio?
Grazie!
1)
Se $M$ è una varietà infinitamente differenziabile ($C^{infty}$ - manifold), provare che se $M$ è connesso, allora è anche connesso per archi.
Siano $p, q in M$. Il mio intento è costruire un cammino conitnuo che collega questi due punti in $M$. Non so proprio da dove iniziare, e non so come sfruttare la definizione di connesso...
2)
Trovare un'isometria locale tra l'elicoide e il catenoide.
Dimostrare che curvatura gaussiana è invariante rispetto all'isometria.
Anche qui non capisco da dove partire. Un isometria locale è una funzione $phi$ per cui esiste un intorno $U$ di ogni punto per cui $phi|U : U \to phi(U)$ è una isometria.
Come faccio?
Grazie!
Risposte
per il punto 1:
prendi un punto $y in M$ e sia $Y$ l'insieme dei punti che sono raggiungibili da y tramite un arco allora $Y$ è aperto:
prendo $x in M$ x ha un intorno U aperto omeomorfo a $RR^n$ per definizione di varietà differenziabile. Ogni punto $u in U$ è raggiungibile da y tramite un arco basta arrivare in x e poi andare in u (U è connesso per archi perchè omeomorfo a $RR^n$). Quindi Y è aperto.
Anche $M\\Y$ è aperto: sia x in $M\\Y$ ammette un intorno aperto U omeomorfo a $RR^n$ e U è interamente contenuto in $M\\Y$ se per assurdo un punto di u di U fosse in $Y$ allora potrei collegare y a x passando per u.
siccome Y è sia aperto che chiuso e non vuoto perchè contiene y allora $Y=M$ in quanto M connesso. dovrebbe essere corretto, ciao
prendi un punto $y in M$ e sia $Y$ l'insieme dei punti che sono raggiungibili da y tramite un arco allora $Y$ è aperto:
prendo $x in M$ x ha un intorno U aperto omeomorfo a $RR^n$ per definizione di varietà differenziabile. Ogni punto $u in U$ è raggiungibile da y tramite un arco basta arrivare in x e poi andare in u (U è connesso per archi perchè omeomorfo a $RR^n$). Quindi Y è aperto.
Anche $M\\Y$ è aperto: sia x in $M\\Y$ ammette un intorno aperto U omeomorfo a $RR^n$ e U è interamente contenuto in $M\\Y$ se per assurdo un punto di u di U fosse in $Y$ allora potrei collegare y a x passando per u.
siccome Y è sia aperto che chiuso e non vuoto perchè contiene y allora $Y=M$ in quanto M connesso. dovrebbe essere corretto, ciao
la prima (l'unica che so, essendo che geometria differenziale la inizio tra 1 settimana 
) io la farei per assurdo.
) io la farei per assurdo.
Mi sento terribilmente stupido...era molto semplice alla fine!
Grazie fu^2 e rubik!
@rubik:
scusa ma però il fatto di essere omeomorfo a un sottoinsieme aperto in $RR^n$ non implica che $U$ è connesso per archi. Volevi dire forse che esiste un intorno di $x$ connesso per archi e omeomorfo a un sottonisieme aperto in $RR^n$?
Grazie fu^2 e rubik!
@rubik:
scusa ma però il fatto di essere omeomorfo a un sottoinsieme aperto in $RR^n$ non implica che $U$ è connesso per archi. Volevi dire forse che esiste un intorno di $x$ connesso per archi e omeomorfo a un sottonisieme aperto in $RR^n$?
"pat87":
Mi sento terribilmente stupido...era molto semplice alla fine!
Grazie fu^2 e rubik!
@rubik:
scusa ma però il fatto di essere omeomorfo a un sottoinsieme aperto in $RR^n$ non implica che $U$ è connesso per archi. Volevi dire forse che esiste un intorno di $x$ connesso per archi e omeomorfo a un sottonisieme aperto in $RR^n$?
se $V$ intorno di x è omeomorfo ad un aperto di $RR^n$ tramite $f:V->A$ prendi una sfera aperta $B$ centrata in $f(x)$ e poi $U=f^(-1)(B)$ ed ottieni l'intorno aperto giusto, hai ragione avevo saltato un passaggio importante.
la questione fondamentale nella dimostrazione è che ogni punto di M ha un intorno connesso per archi. se ci sono altre questioni dimmelo
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