[Geometria Differenziale] Difficoltà esercizio su fibrati

[dan952]

Esercizio Siano $M$ una varietà $C^{\infty}$ di tipo finito, e $E \rightarrow M$ un fibrato lineare complesso (cioè un
fibrato vettoriale complesso di rango 1). Sia $\sigma_0 : M \rightarrow E$ la sezione nulla.
(1) Dimostrate che, se $E$ è banale, allora $H_{DR}^1(E \\Im(\sigma_0)) != 0$. (Suggerimento: ricordate la formula
di Künneth.)
(2) Sia $n > 0$. Dimostrate che il fibrato lineare tautologico
su $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ non è banale.

Chiaramente per dimostrare (2) ho bisogno di (1). Il problema sta nel trovare $\Im(\sigma_0)$ che credo sia l'insieme ${(p,0)|p \in M}$, o sbaglio? Inoltre non so bene come usare Künneth

[killing_buddha]

Se $E$ è banale, \(E\setminus \text{im}(\sigma_0)\) ha un isomorfismo ovvio con \(\mathbb{C}^\times \times M=\{(\lambda,b)\mid \lambda\neq 0\}\); a questo punto Kűnneth ti dice che
\[
H^1(\mathbb{C}^\times \times M)\cong H^1(S^1\times M) = H^0(M)
\]
che non è zero.

[dan952]

Grazie mille!

[j18eos]

Curiosità: Che è una varietà liscia di tipo finito? Ed \(\displaystyle M\) non dovrebbe essere complessa?

[dan952]

Di tipo finito significa che ammette un ricoprimento aciclico finito cioè un ricoprimento aperto finito ${U_{\alpha_i}}_{i=1, \cdots n}$ tale che ogni intersezione finita non vuota di aperti del ricoprimento ha la stessa coomologia di $RR$