Geometria differenziale - Coordinata curvilinea

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Salve a tutti, ho un problema con una curva in $ RR^3 $ definita con parametro t dall'equazione:
$ alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))=(t^2/2+4,t^3/2+1,t/3-2) $

L'esercizio richiede di determinare il riferimento di Frenet della curva del punto $ alpha(0)=(4,1,-2) $.

Ecco il mio approccio (per la verità stroncato molto presto):

Determino una funzione $ s(t) $ (ascissa curvilinea) come (perdonate se l'integrale ha estremi e variabile uguali ma era per velocizzare):
$ s(t)=int_(0)^(t) sqrt(((dx)/dt)^2+((dy)/dt)^2+((dz)/dt)^2)dt=int_(0)^(t) sqrt(9/4t^4+t^2+1/9)dt=int_(0)^(t) sqrt((3/2t^2+1/3)^2 )=1/2t^3+1/3t $

Ora per trovare la funzione che mi serve e cioè l'inversa $ t(s) $ come faccio? O meglio, come risolvo $ s(t)=1/2t^3+1/3t $ in s?
Se non posso trovare l'inversa, come faccio a determinare l'ascissa curvilinea?

[ciampax]

Se passi all'ascissa curvilinea rischi spesso di trovarti in casi simili. Quello che conviene fare è cercare di ricavare il riferimento direttamente dall'espressione in funzione di t. Se $s=s(t)$ allora puoi scrivere $\alpha(t)=\beta(s(t))$. Indicati con $T(s),\ N(s)$ i versori tangente e normale, si ha

$T(s)={d\beta}/{ds}={d\alpha}/{dt}\cdot{dt}/{ds}=1/{s'(t)}\cdot \alpha'(t)$

e dalla relazione ${dT}/{ds}=k(s)\cdot N(s)$, si ha

$k(s)\cdot N(s)={dT}/{ds}={dT}/{dt}\cdot{dt}/{ds}=1/{s'(t)}\cdot{d}/{dt}(1/{s'(t)}\cdot \alpha'(t))=1/{s'(t)}\cdot{\alpha''(t)\cdot s'(t)-\alpha'(t)\cdot s''(t)}/{[s'(t)]^2}={\alpha''(t)\cdot s'(t)-\alpha'(t)\cdot s''(t)}/{[s'(t)]^3}$

ed essendo $k(s)=|{\alpha''(t)\cdot s'(t)-\alpha'(t)\cdot s''(t)}/{[s'(t)]^3}|$ si ha $N(s)=1/{k(s)}\cdot{\alpha''(t)\cdot s'(t)-\alpha'(t)\cdot s''(t)}/{[s'(t)]^3}$.