[Geometria differenziale] Applicazioni tra spazi tangenti.

[fu^2]

Ragazzi ho bisogno di una delucidazione che mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. (Mi scuso in anticipo della gigantesca orgia di indici che viene fuori, spero si non sbagliare e dimenticare indici cavoluti )

Mi sa che non ho troppo chiara la situazione, ora spiego per bene (se uno vuole saltare la parte di teoria passi subito all'esempio preceduto da ------):

Siano $S_1$ e $S_2$ due superfici regolari di $RR^3$, sia $p\inS_1$.

Siano $phi_1:U\subRR^2->S_1$ una parametrizzazione di $S_1$ e $phi_2:V\subRR^2->S_2$ una parametrizzazione di $S_2$.

Sia $F:phi_1(U)\sub S_1-> phi_2(V)\sub S_2$ una mappa tra le due superfici. Esisterà quindi un $(u_0,v_0)\in U: phi_1(u_0,v_0)=p$ ed esisterà un $(baru_0,barv_0)\in V:phi_2(baru_0,barv_0)=F(p).

Definiamo Il differenziale $dF:T_pS_1->T_{F(p)}S_2$ nel seguente modo: sia $w\in T_pS_1$, per definizione di vettore tangente alla superficie, esisterà una curva $alpha:(-epsilon,epsilon)->S_1$ tale che $alpha(0)=p$, $dotalpha(0)=w$; definiamo quindi $dF_p(w):=d/(dt)[F_p(alpha(t))]_{|_{t=0}}$.

Sempre dalla definizione avremo quindi che $dotalpha(0)=u'(0)(delphi_1)/(delu)(p)+v'(0)(delphi_1)/(delu)(p)$, cioè esisterà una curva $beta(t)$ tale che $alpha(t)=phi_1(beta(t))$, dove $beta(t)=(u(t),v(t))\sub U$.

Bene la parte di teoria è finita, ora si passa alla parte dove non torna nulla. Iniziamo a fare un pò di calcoli:

Consideriamo il vettore $w=dotalpha(0)$ come indicato sopra, allora la sua immagine in $T_{F(p)}S_2$ risulta essere la seguente:

$dF_p(w)=d/(dt)[F_p(alpha(t))]_{|_{t=0}}=d/(dt)[F_p(phi_1(u(t),v(t)))]_{|_{t=0}}$ ma per rendere commutativo tutto $F(phi_1(u(t),v(t)))=phi_2(baru(t),barv(t))$. Cioè esisterà una funzione che porta $(u(t),v(t))$ in $(baru(t),barv(t))$, sia questa $psi(u,v)$. Risulta quindi $F(phi_1(u(t),v(t)))=phi_2(psi_1(u(t),v(t)),psi_2(u(t),v(t)))$.

Sostituendo ottendo finalmente $d/(dt)[F_p(phi_1(u(t),v(t)))]_{|_{t=0}}=d/(dt)[phi_2(psi_1(u(t),v(t)),psi_2(u(t),v(t)))]_{|_{t=0}}=

$((u'(0)(delpsi_1)/(delu)(p)+v'(0)(delpsi_1)/(delv)(p))(delphi_2)/(delbaru)(F(p))+((u'(0)(delpsi_2)/(delu)(p)+v'(0)(delpsi_2)/(delv)(p))(delphi_2)/(delbarv)(F(p))$.

Quindi la matrice associata a $dF_p(w)=[((delpsi_1)/(delu),(delpsi_1)/(delv)),((delpsi_2)/(delu),(delpsi_2)/(delv))][(u'(0)),(v'(0))]$ nelle basi ${(delphi_1)/(delu),(delphi_1)/(delv)}_{T_pS_1}$ e ${(delphi_2)/(delbaru),(delphi_2)/(delbarv)}_{T_{F(p)}S_2}$.

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Se fino a qui non ho detto cazzate, ora inizia la parte di ombra più totale per vedere se quello che ho scritto l'ho capito, come insegna il manuale del perfetto studente, ho provato a scrivere qualche esempio, sono partito da uno banale che è quello che vi riporto per iniziare:

riepilogando, quello che mi salta fuori è che la matrice è data delle due funzioni tali che $baru(t)=psi_1(u(t),v(t))$ e $barv(t)=psi_2(u(t),v(t))$ cioè le funzioni del cambio di coordinate. Ma se l'insieme da cui parto è lo stesso mi viene fuori che è ne più ne meno che l'identità questa matrice.

Cioè se considero $S_1={(x,y,z)|x^2+y^2=1}$ e $S_2={(x,y,z)|x^2+y^2=4}$ avremo che $phi_1:RRx(0,2pi)->S_1$ definito come $phi_1(u,v)=(cosu,sinu,v)$ è una parametrizzazione per $S_1$ e $phi_2:RRx(0,2pi)->S_2$ definito come $phi_2(u,v)=(2cosu,2sinu,v)$ è una parametrizzazione di $S_2$.

Considero quindi $F:S_1->S_2$ definita come $F(x,y,z)=(2x/(sqrt(x^2+y^2)),2y/(sqrt(x^2+y^2)),z)$.

Le basi dei due tangenti risultano essere ${((-sinu),(cosu),(0)),((0),(0),(1))}_{T_pS_1}$ e ${{((-2sinu),(2cosu),(0)),((0),(0),(1))}}_{T_{F(p)}S_2}$.

Sia $p=phi_1(0,0)=(1,0,0)=>F(p)=(2,0,0)$ avremo che $B_1={((0),(1),(0)),((0),(0),(1))}_{T_((1,0,0))S_1}$ e $B_2={((0),(0),(2)),((0),(0),(1))}_{T_((2,0,0))S_2}$ sono le basi carcate. BENE! fino a qui, riscaldamento

Ora il vettore $(0,1,0)$ appartiene allo spazio tangente di $S_1$, esso è definito dalla curva $phi_1(t,0)=(cost,sint,0)=>dotphi_1(0,0)=(-sint,cost,0)[0,0]=(0,1,0)$. Quindi $d/(dt)F_p(phi_1(t,0))[0,0]=d/(dt)(F(cost,sint,0))[0,0]=d/(dt)(2cost,2sint,0)[0,0]=(0,2,0)$.
Allo stesso modo avremo che il secondo vettore della prima base finisce nel secondo vettore della seconda base.
Infatti $(0,0,1)$ è definito da $phi_1(0,t)$. Quindi $ d/(dt)F_p(phi_1(0,t))[0,0]=d/(dt)(2,0,t)[0,0]=(0,0,1)$.

Quindi se consideriamo una curva generica $alpha(t)=(u(t),v(t)):phi_1(u(0),v(0))=p$ avremo che $w=u'(0)(delphi_1)/(delu)+v'(0)(delphi_1)/(delv)=>dF_p(W)=u'(0)dF_p(delphi_1)/(delu)+v'(0)dF_p(delphi_1)/(delv)=u'(0)(delphi_2)/(delu)+v'(0)(delphi_2)/(delv)$

Quindi, in questo caso, $dF_{B_2}^{B_1}=Id$.



Tutto giusto fino a qua (se si, poi posterò anche il mio secondo esempio )? Quanto sto sbagliando? è essenziale saperlo, perchè la cosa mi puzza e mi sfugge, il 4 ho l'esame e inizio a essere nervoso

grazie infinite a chiunque abbia la pazienza di leggerlo, spero non ci metta tanto quanto ci ho messo a scriverlo, quasi un ora! Spero ne sia valsa la pena


edit: il risultato ha senso, infatti riparametrizzando in modo opportuno si ha che un qualsiasi cilindro nella forma $x^2+y^2=r^2$ è localemente isometrico a un piano.

se $G_1$ è la matrice della prima forma fondamentale in un punto $p$ di $S_1$ e $G_2$ quella nel punto $F(p)$, avremo che $F$ è un'isometria se $G_1(v,w)=G_2(dF(v),dF(w))=G_2(Av,Aw)$ con $A$ la matrice incriminata sopra, cioè dovremo avere che $G_1=A^tG_2A$ in questo caso si ha che $F$ è un'isometria, giusto? Non è una cavolata quindi questo passaggio è fondamentale nei miei ragionamenti...

[fu^2]

Il problema si è semplificato

Allora date le due superfici $S_1,S_2$ e $F:S_1->S_2$ avremo che, detto $phi_1:U\sub RR^2->S_1$ e $phi_2=F(phi_1):U\sub RR^2->S_2$ le due parametrizzazioni, avremo che $dphi_1(RR^2)=T_pS_1$ e $d(Fphi_1)(RR^2)=T_{F(p)}S_2$ per definizione.
Quindi avremo che $dF_p=d(Fphi_1)_p(dphi_1)_p^{-1}$ .

Bene! quindi se per esempio $phi_1=(cosu,sinu,v)$, allora $dphi_1=[(-sinu,0),(cosu,0),(0,1)]$ a questo punto come di deve interpretare il $(dphi_1)^{-1}$ che associa l'immagine del $T_pS_1$ a $RR^2$? in questo caso che come parametrizzazione è data sullo spazio di un cilindro partendo da un opportuno aperto del piano, cosa risulterebbe?

Non capisco, ma questo punto non mi quadra... lo so che è una domanda banale...

[pat871]

Uh che spatafiata di roba che hai messo giù....si in ogni modo mi sembra corretto il tuo ragionamento (a meno di errori di calcolo, che adesso proprio non ho voglia di controllare )
Ricordati che comunque in generale per una varietà $n$-dimensionale hai sempre che lo spazio tangente è uno spazio definito in modo tale (e può essere definito in almeno 3 modi diversi) da poter essere uno spazio vettoriale $n$-dimensionale e poterlo quindi identificare con il basilare spazio vettoriale $RR^n$.
In $RR^3$ non ti porre troppo il problema di come vedere il differenziale di una funzione in modo formale, poiché puoi semplicemente vederlo come un'applicazione lineare $RR^2 to RR^2$ i cui coefficienti della matrice sono dati dal jacobiano della funzione trasferita dalle carte in $RR^2$.

[fu^2]

ciao!
grazie alla fine capito cosa si sta facendo, la questione diventa, come hai detto anche te, un problema di algebra lineare sotto sotto...