Geometria dello spazio. esercizio piani
date le rette sghembre
r: $3x=y-2$ , $-2x=z-2$
s: $x=-y+3$ , $-4x=3z-12$
determinare i piani passanti per l'asse $y$ secanti r ed s nei due punti R e S rispettivamente, talii che la retta congiungente R ed S sia parallela al piano $x+2y+3z=0$
r: $3x=y-2$ , $-2x=z-2$
s: $x=-y+3$ , $-4x=3z-12$
determinare i piani passanti per l'asse $y$ secanti r ed s nei due punti R e S rispettivamente, talii che la retta congiungente R ed S sia parallela al piano $x+2y+3z=0$
Risposte
Tu come inizieresti?
trovo i parametri direttori delle rette r ed s.
il generico piano passante per l'asse y e': $ax+cz+d=0$
per trovare i punti R ed S interseco il generico piano con le r e poi con s e dovrei trovare i due punni (in funzione di alcuni parametri ovviamente, non avro punti ben determinati)
poi mi cerco la retta RS e impongo che sia parallela al piano con la condizione di parallelismo piano retta...
il generico piano passante per l'asse y e': $ax+cz+d=0$
per trovare i punti R ed S interseco il generico piano con le r e poi con s e dovrei trovare i due punni (in funzione di alcuni parametri ovviamente, non avro punti ben determinati)
poi mi cerco la retta RS e impongo che sia parallela al piano con la condizione di parallelismo piano retta...
"marixg":
il generico piano passante per l'asse y e': $ax+cz+d=0$
Quando tu dici "passante per l'asse y" intendi che tutti i punti dell'asse y appartengono al piano, oppure che uno solo dei suoi punti appartiene al piano?
tutti i punti ....
Allora è meglio dire "il piano contenente l'asse y".
Il piano di equazione cartesiana $ x+z+1=0 $ non contiene l'asse y, quindi i piani da te scelti non vanno evidentemente bene.
"marixg":
il generico piano passante per l'asse y e': $ax+cz+d=0$
Il piano di equazione cartesiana $ x+z+1=0 $ non contiene l'asse y, quindi i piani da te scelti non vanno evidentemente bene.
la traccia dice passanti per l'asse y.. adesso non so cm interpretare
Allora vuol dire "contenenti l'asse y", è equivalente.
Coraggio, chi sono i parametri direttori delle due rette?
Coraggio, chi sono i parametri direttori delle due rette?
di r sono $(1,3,-2)$ di s sono $(-3,3,4)$
Bene. Cosa mi dici invece del fascio di piani che ha come asse l'asse $ y $? (Riguarda quello che ti ho scritto sopra)
non so come sara'... per contenere l'asse y ho capito che $b ne 0$
Una forma parametrica dell'asse $ Y $ è data da
\[ Y : \cases{x = 0 \\ y = t \\ z = 0} \]
Trasformando l'equazione in forma cartesiana, otteniamo
\[ Y : \cases{x = 0 \\ z = 0} \]
Tale sistema descrive l'intersezione tra i piani $ YZ $ e $ XY $, i quali dunque generano un fascio proprio di piani che contengono l'asse $ Y $.
I piani passanti per l'asse $ Y $ sono allora i tutti e soli piani descritti da equazioni della forma
\[ \Phi_Y : \alpha x + \beta z = 0 \]
\[ Y : \cases{x = 0 \\ y = t \\ z = 0} \]
Trasformando l'equazione in forma cartesiana, otteniamo
\[ Y : \cases{x = 0 \\ z = 0} \]
Tale sistema descrive l'intersezione tra i piani $ YZ $ e $ XY $, i quali dunque generano un fascio proprio di piani che contengono l'asse $ Y $.
I piani passanti per l'asse $ Y $ sono allora i tutti e soli piani descritti da equazioni della forma
\[ \Phi_Y : \alpha x + \beta z = 0 \]
ora devo intersecare $Phi_Y : \alpha x + \beta z = 0 $ prima con la retta $r$ poi con la retta $s$ e trovo i punti $R$ rd $S$, poi considero la retta congiungente i due punti, impongo la condizione di parallelismo con quel piano dato nella traccia ed è fatto?
Giusto; tutto questo al variare di $ \alpha $ e $ \beta $, ovviamente.
il punto R ha coordinate $((-6b-2a+2)/(3a-6b)), ((-30b+6)/(3a-6b)), ((10a-4)/(3a-6b))) ho scritto a ed b per non scrivere alfa e beta.
Se non mi mostri almeno qualche passaggio non si può sapere se sono corretti o meno i tuoi calcoli.
ho trovato il punto R facendo il sistema tra $Phi_Y : \alpha x + \beta z = 0 $ prima con la retta $r$ e il punto S facndo sistema con la retta $s$ giusto?
Concettualmente è corretto, ma bisogna fare attenzione ad alcuni dettagli.
L'unicità delle soluzioni dei sistemi non è garantita per tutti i valori di $ \alpha $ e $ \beta $, pertanto i valori non buoni escludono alcune rette del fascio.
L'unicità delle soluzioni dei sistemi non è garantita per tutti i valori di $ \alpha $ e $ \beta $, pertanto i valori non buoni escludono alcune rette del fascio.
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