Geometria del piano
In un riferimento ortogonale nello spazio, come si trovano le equazioni di una retta r sapendo che:
1) passa per O(0,0,0)
2) r parallelo al piano $ alpha: x+2y+z-2=0$
3) r parallelo al piano $ beta: 3x-z+5=0$
Ho fatto così:
Condizione di parallelismo tra retta e piano: $al+bm+cn=0$ (dove a,b,c sono i coeff di x,y,z ed l,m,n i parametri dirett della retta)
Quindi si ha rispettivamente,
$l+2m+n=0$ per $alpha$
$3l-n=0$ per $beta$
Il passaggio per l'origine lo esprimo così:
$vec{OP}=t cdot vec{v}$ dove v è il vettore direttore $vec{v}=lvec{i}+mvec{j}+nvec{k}$ e $vec{OP}=(x-0)vec{i}+(y-0)vec{j}+(z-0)vec{k}$
da cui si hanno le equaz parametriche di r
${ [x=tl],[y=tm],[z=tn]:} $
Ora che si fa?
Come vado avanti?
1) passa per O(0,0,0)
2) r parallelo al piano $ alpha: x+2y+z-2=0$
3) r parallelo al piano $ beta: 3x-z+5=0$
Ho fatto così:
Condizione di parallelismo tra retta e piano: $al+bm+cn=0$ (dove a,b,c sono i coeff di x,y,z ed l,m,n i parametri dirett della retta)
Quindi si ha rispettivamente,
$l+2m+n=0$ per $alpha$
$3l-n=0$ per $beta$
Il passaggio per l'origine lo esprimo così:
$vec{OP}=t cdot vec{v}$ dove v è il vettore direttore $vec{v}=lvec{i}+mvec{j}+nvec{k}$ e $vec{OP}=(x-0)vec{i}+(y-0)vec{j}+(z-0)vec{k}$
da cui si hanno le equaz parametriche di r
${ [x=tl],[y=tm],[z=tn]:} $
Ora che si fa?
Come vado avanti?
Risposte
"hastings":
Quindi si ha rispettivamente,
$l+2m+n=0$ per $alpha$
$3l-n=0$ per $beta$
Queste due sono le equazioni della retta cercata (più chiare se metti $x=l$, $y=m$ e $z=n$). Prova a capire perché.
Forse perchè quando ho detto:
avrei dovuto notare che x,y,z sono proporzionali a l,m,n. Quindi per t=1 ho proprio quello che dicevi tu (x=l, y=m, z=n).
Poichè nello spazio, una retta è individuata da 2 o più intersez di piani, basta sostituire le 3 relazioni trovate al posto di l,m,n nelle equazioni di parall retta-piano. Così trovo le 2 equazioni cartesiane della retta
${[x+2y+z=0],[3x-z=0]:} $
Ma... scusami, sono praticamente i due piani che mi venivano dati, eccetto che questi nn hanno il termine noto perchè passano per O(0,0,0).
Ma allora, per trovare r ho intersecato uno dei tanti piani paralleli ad $alpha$ (precisamente quello passante per O), e uno dei tanti piani paralleli a $beta$ (precisamente quello passante per O)!
"hastings":
da cui si hanno le equaz parametriche di r
${ [x=tl],[y=tm],[z=tn]:} $
avrei dovuto notare che x,y,z sono proporzionali a l,m,n. Quindi per t=1 ho proprio quello che dicevi tu (x=l, y=m, z=n).
Poichè nello spazio, una retta è individuata da 2 o più intersez di piani, basta sostituire le 3 relazioni trovate al posto di l,m,n nelle equazioni di parall retta-piano. Così trovo le 2 equazioni cartesiane della retta
${[x+2y+z=0],[3x-z=0]:} $
Ma... scusami, sono praticamente i due piani che mi venivano dati, eccetto che questi nn hanno il termine noto perchè passano per O(0,0,0).
Ma allora, per trovare r ho intersecato uno dei tanti piani paralleli ad $alpha$ (precisamente quello passante per O), e uno dei tanti piani paralleli a $beta$ (precisamente quello passante per O)!
E' giusta la mia spiegazione?
Come regola generale, dato un piano $pi$, come faccio a trovare un qualsiasi piano ad esso parallelo? Uso la formula del fascio di piani?
Come regola generale, dato un piano $pi$, come faccio a trovare un qualsiasi piano ad esso parallelo? Uso la formula del fascio di piani?
Due piani sono paralleli <=> hanno la stessa giacitura
quindi prendi il piano generico parallelo al piano dato (cioè il fascio improprio di piani paralleli a $pi$) e imponi il passaggio per il punto
quindi prendi il piano generico parallelo al piano dato (cioè il fascio improprio di piani paralleli a $pi$) e imponi il passaggio per il punto
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