[geometria analitica] rette: equazione canonica/parametrica
come posso trasformare questa equazione canonica di retta in parametrica?
retta s:
3x+7y+2z=5
x+3z=2
???
retta s:
3x+7y+2z=5
x+3z=2
???
Risposte
secondo me basta che poni (volendo scegliere come parametro t ):
t=z
e ottieni un sistema di 2 equazioni in 2 incognite (piu' il parametro t che pero' viene trattato appunto come parametro e non come variabile)
risolvi e ottieni una cosa del tipo:
x= una funzione di t
y= una (altra) funzione di t
z=t
t=z
e ottieni un sistema di 2 equazioni in 2 incognite (piu' il parametro t che pero' viene trattato appunto come parametro e non come variabile)
risolvi e ottieni una cosa del tipo:
x= una funzione di t
y= una (altra) funzione di t
z=t
purtroppo come hai detto tu non viene, nel senso i parametri direttori non corrispondono a quelli reali 
altre idee?
altre idee?
"df":
purtroppo come hai detto tu non viene, nel senso i parametri direttori non corrispondono a quelli reali
altre idee?
puoi spiegarmi meglio cosa intendi per parametri direttori reali?
sono un po' arrugginito su queste cose.
ciao
alex
Se la retta e' data come intersezione di due piani allora i parametri direttori,
a meno di un inessenziale fattore di proporzionalita',sono i minori ( a segni alterni) che si ottengono
cancellando dalla matrice dei coefficienti delle incognite una colonna per volta.
Nel caso nostro tale matrice e':
$((3,7,2),(1,0,3))$ ed i minori sono 21,-7,-7 ovvero semplificando 3,-1,-1
Poiche' un punto comune ai due piani e' per esempio P(2,-1/7,0) le equazioni
parametriche della retta sono:
${(x=2+3t),(y=-1/7-t),(z=-t):}$
a meno di un inessenziale fattore di proporzionalita',sono i minori ( a segni alterni) che si ottengono
cancellando dalla matrice dei coefficienti delle incognite una colonna per volta.
Nel caso nostro tale matrice e':
$((3,7,2),(1,0,3))$ ed i minori sono 21,-7,-7 ovvero semplificando 3,-1,-1
Poiche' un punto comune ai due piani e' per esempio P(2,-1/7,0) le equazioni
parametriche della retta sono:
${(x=2+3t),(y=-1/7-t),(z=-t):}$
in pratica i parametri direttori si possono calcolare in diversi modi , per reali intendo quelli giusti non reali nel senso di appartenentia all'insieme dei reali, scusa il gioco di parole
in pratica calcolando i parametri direttori della retta s con un metodo sicuro mi vengono:
<21,-7,-7>
ponendo x=t (come mi hai detto tu) ottengo un risultato diverso
in pratica calcolando i parametri direttori della retta s con un metodo sicuro mi vengono:
<21,-7,-7>
ponendo x=t (come mi hai detto tu) ottengo un risultato diverso
"licio":
Se la retta e' data come intersezione di due piani allora i parametri direttori,
a meno di un inessenziale fattore di proporzionalita',sono i minori ( a segni alterni) che si ottengono
cancellando dalla matrice dei coefficienti delle incognite una colonna per volta.
Nel caso nostro tale matrice e':
$((3,7,2),(1,0,3))$ ed i minori sono 21,-7,-7 ovvero semplificando 3,-1,-1
Poiche' un punto comune ai due piani e' per esempio P(2,-1/7,0) le equazioni
parametriche della retta sono:
${(x=2+3t),(y=-1/7-t),(z=-t):}$
il punto l'hai deciso tu mettendo due valori a caso per due variabili e calcolando la terza?
nel caso di equazioni parametriche posso fare la stessa cosa?
ovvero se fosse stato
3x+7y+2z=5k
x+3z=k+2
avrei dovuto fare la stessa cosa? il punto è che in questo caso con il k come faccio a calcolare un punto della retta?
Il punto di partenza puo' essere scelto a piacere purche' appartenga ad entrambi
i piani (ovvero le sue coordinate verifichino le equazioni di detti piani).
Nel caso da te proposto non cambia niente.Si puo' scegliere un punto qualunque
e l'unica differenza e' nel fatto che le coordinate dipenderanno dal parametro k.
Per esempio si puo' prendere il punto $P(k+2,(2k-6)/7,0)$
P.S.
Nel nostro caso non si possono dare valori a due variabili e poi calcolare la terza .
Viceversa si puo' scegliere come si vuole il valore di una sola variabile ,sostituire nelle equazioni
dei 2 piani e risolvere poi il sistema conseguente.
i piani (ovvero le sue coordinate verifichino le equazioni di detti piani).
Nel caso da te proposto non cambia niente.Si puo' scegliere un punto qualunque
e l'unica differenza e' nel fatto che le coordinate dipenderanno dal parametro k.
Per esempio si puo' prendere il punto $P(k+2,(2k-6)/7,0)$
P.S.
Nel nostro caso non si possono dare valori a due variabili e poi calcolare la terza .
Viceversa si puo' scegliere come si vuole il valore di una sola variabile ,sostituire nelle equazioni
dei 2 piani e risolvere poi il sistema conseguente.
ho provato a fare il grafico delle due funzioni in forma parametrica e non , possibile che diano rette diverse?
P.S.
Nel nostro caso non si possono dare valori a due variabili e poi calcolare la terza .
Viceversa si puo' scegliere come si vuole il valore di una sola variabile ,sostituire nelle equazioni
dei 2 piani e risolvere poi il sistema conseguente.
perchè nel nostro caso non si può?
Perche' hai un sistema di 2 equazioni e 3 incognite .Pertanto una sola variabile e' libera,le
altre due le devi ricavare dal sistema delle 2 equazioni.
Se tu dai valori a due variabili ,allora succede che la terza variabile la ricavi da una delle
equazioni.Ma cio' non ti assicura che i valori così calcolati verifichino poi anche l'altra equazione.Come deve accadere.
altre due le devi ricavare dal sistema delle 2 equazioni.
Se tu dai valori a due variabili ,allora succede che la terza variabile la ricavi da una delle
equazioni.Ma cio' non ti assicura che i valori così calcolati verifichino poi anche l'altra equazione.Come deve accadere.
perchè prendendo la t della retta non con il k, ovvero la prima e sostituendola, non ricavo le due equazioni dei piani di partenza?
ottengo invece
$t=-z
$x=2-3z
$y=-1/7 + z$
ottengo invece
$t=-z
$x=2-3z
$y=-1/7 + z$
Non devi ottenere necessariamente i due piani di partenza bensì due piani
passanti per quella retta .
La verifica la puoi fare mettendo in una medesima matrice i coefficienti dei quattro piani
(quelli dati e quelli trovati) e notare come il det. di tale matrice sia nullo ( cosa che prova che essi piani
formano fascio,ovvero passano per una stessa retta).
Infatti tale matrice e':
$A=((1,0,3,-2),(0,7,-7,1),(3,7,2,-5),(1,0,3,-2))$
Con qualche calcolo si trova che effettivamente e' det(A)=0.
passanti per quella retta .
La verifica la puoi fare mettendo in una medesima matrice i coefficienti dei quattro piani
(quelli dati e quelli trovati) e notare come il det. di tale matrice sia nullo ( cosa che prova che essi piani
formano fascio,ovvero passano per una stessa retta).
Infatti tale matrice e':
$A=((1,0,3,-2),(0,7,-7,1),(3,7,2,-5),(1,0,3,-2))$
Con qualche calcolo si trova che effettivamente e' det(A)=0.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo