[Geometria analitica nello spazio] due esercizi
mi serve aiuto ancora una volta su degl iesercizi su sfere e circonferenze, se non vi va di stare a fare i conti non importa, la cosa che mi interessa è che mi spiegate il procedimento poi i conti li faccio da solo
1)Determinare l'equazione della sfera contenente la circonferenza (di equazioni $x^2$+$y^2$+$z^2$-1=0 e y-z=0) ed avente centro sul piano x+y-1=0
2)In uno spazio Euclideo, si determinino le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta r: y-z=0=x e tangenti nel punto A(0,0,1) alla retta t: x-y=0=y
Per ora non mi vengono idee per svolgere questi esercizi se mi dovesse venire un'idea proverò a postarla e a discuterne con voi. ciao
[mod="Tipper"]Modificato il titolo, per descrivere meglio il problema trattato[/mod]
1)Determinare l'equazione della sfera contenente la circonferenza (di equazioni $x^2$+$y^2$+$z^2$-1=0 e y-z=0) ed avente centro sul piano x+y-1=0
2)In uno spazio Euclideo, si determinino le equazioni delle circonferenze tangenti alla retta r: y-z=0=x e tangenti nel punto A(0,0,1) alla retta t: x-y=0=y
Per ora non mi vengono idee per svolgere questi esercizi se mi dovesse venire un'idea proverò a postarla e a discuterne con voi. ciao
[mod="Tipper"]Modificato il titolo, per descrivere meglio il problema trattato[/mod]
Risposte
1) L'equazione generale di una sfera in $RR^3$ è:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2$
con $C=(x_c,y_c,z_c)$ le coordinate del centro, imporre che il centro stia su di una retta implica che:
$x_c+y_c-1=0$
e le altre condizioni sono:
${(x^2+y^2+z^2=1),(y-z=0):}$
Tutte insieme in un sistema determinano i valori di $r, x_c, y_c, z_c$ (3 equazioni in 4 incognite).
2) In questo caso il sistema è determinato dalle equazioni:
${(A in gamma),(r bot gamma),(t bot gamma):}$
dove $gamma$ è il fascio di circonferenze che cerchiamo.
Osserviamo che in $RR^3$ le due rette determinano un piano passante per $A$ (se non sghembe): il fascio di circonferenze sarà allora la sfera generica intersecata a detto piano, con l'aggiunta della tangenza poi trovi le circonferenze che cerchi.
Se sono sgembe allora si tratteranno come equazioni singole senza l'uso del piano.
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2$
con $C=(x_c,y_c,z_c)$ le coordinate del centro, imporre che il centro stia su di una retta implica che:
$x_c+y_c-1=0$
e le altre condizioni sono:
${(x^2+y^2+z^2=1),(y-z=0):}$
Tutte insieme in un sistema determinano i valori di $r, x_c, y_c, z_c$ (3 equazioni in 4 incognite).
2) In questo caso il sistema è determinato dalle equazioni:
${(A in gamma),(r bot gamma),(t bot gamma):}$
dove $gamma$ è il fascio di circonferenze che cerchiamo.
Osserviamo che in $RR^3$ le due rette determinano un piano passante per $A$ (se non sghembe): il fascio di circonferenze sarà allora la sfera generica intersecata a detto piano, con l'aggiunta della tangenza poi trovi le circonferenze che cerchi.
Se sono sgembe allora si tratteranno come equazioni singole senza l'uso del piano.
"Lord K":
1) L'equazione generale di una sfera in $RR^3$ è:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2$
con $C=(x_c,y_c,z_c)$ le coordinate del centro, imporre che il centro stia su di una retta implica che:
$x_c+y_c-1=0$
....
Il centro sta su $x+y-1=0$: è un piano, non una retta.
Senza imporre troppe equazioni e sistemi sinteticamente il problema 1) è molto semplice: basta trovare il centro della crf, condurre l'ortogonale al piano della crf passante per tale centro e intersecarla con il piano dato su cui sta il centro della sfera. Per trovare infine il raggio della sfera basta fare la distanza tra il centro della sfera trovato e un punto qualunque della crf data.
Per quanto riguarda il problema due la configurazione data è semplice: le due rette sono l'asse z e una retta che sta nel piano yz, piano su cui starà anche la crf. Basta allora impostare le tangenze.
Per quanto riguarda il problema due la configurazione data è semplice: le due rette sono l'asse z e una retta che sta nel piano yz, piano su cui starà anche la crf. Basta allora impostare le tangenze.
[/quote]
Il centro sta su $x+y-1=0$: è un piano, non una retta.[/quote]
Hai ragionissima. Grazie!
Il centro sta su $x+y-1=0$: è un piano, non una retta.[/quote]
Hai ragionissima. Grazie!
scusate non ho capito cosa devo fare 
allora analizziamo un esercizio per volta, per quanto riguarda il primo esercizio la difficoltà sta tutta nel trovare il centro della circonferenza che ha coordinate del tipo (1-y,y,z). dato che un punto della circonferenza sarà pure un punto della sfera ad esempio (1,0,0), usiamo la formula della distanza, però non ho capito come trovarmi in funzione di y la coordinata z
allora analizziamo un esercizio per volta, per quanto riguarda il primo esercizio la difficoltà sta tutta nel trovare il centro della circonferenza che ha coordinate del tipo (1-y,y,z). dato che un punto della circonferenza sarà pure un punto della sfera ad esempio (1,0,0), usiamo la formula della distanza, però non ho capito come trovarmi in funzione di y la coordinata z
per risolvere il primo esercizio mi è venuta questa idea
dato che la circonferenza è contenuta nella sfera che dobbiamo trovare, allora vuol dire che sfera e circonferenza avranno stesso raggio cioè 1 e due punti qualsiasi della circonferenza saranno anche due punti qualsiasi della sfera. Allora prendiamo due punti della circonferenza A(1,0,0) e B(0,1,0), il centro avrà coordinate
C(1-y,y,z). Imponiamo che l distanza di C da A e di C da B sia uguale a 1 e quindi mi è uscito y=1/2 e due valori di z 1/\/2 e -1/\/2
questo vuol dire che le sfere ch contengono la circonferenza sono due?
chi mi da dei chiarimenti?
dato che la circonferenza è contenuta nella sfera che dobbiamo trovare, allora vuol dire che sfera e circonferenza avranno stesso raggio cioè 1 e due punti qualsiasi della circonferenza saranno anche due punti qualsiasi della sfera. Allora prendiamo due punti della circonferenza A(1,0,0) e B(0,1,0), il centro avrà coordinate
C(1-y,y,z). Imponiamo che l distanza di C da A e di C da B sia uguale a 1 e quindi mi è uscito y=1/2 e due valori di z 1/\/2 e -1/\/2
questo vuol dire che le sfere ch contengono la circonferenza sono due?
chi mi da dei chiarimenti?
Mi sembra abbastanza evidente che il centro della crf è l'origine...
il centro della circonferenza è ovvio che sia l'origine però io parlo del centro della sfera che contiene la circonferenza
la mia soluzione vabene oppure è sbagliata?
la mia soluzione vabene oppure è sbagliata?
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