Geometria analitica del piano
salve, sto facendo un esercizio e nn riesco a capire il procedimento, l'esercizio dice : trovare l'equazione del piano contenente P(1,0,-1) e perpendicolare hai piani:a)x+y+z=1 ; b)x-y-z-2=0 ; secondo me per prima cosa deve vedere i parametri di direzione del piani, poi che i parametri di direzione del nuovo piano devono essere ortagonali a entrambi e giusto il mio ragionamento? poi i due piani a e b dovrebbero essere paralleli per trovare un piano perpendicolare a entrambi e secondo me non lo sono poichè i parametri di direzione di a sono (1,1,1) e quelli di b (1,-1,-1) e secondo me non esiste un k tale che (1,1,1)=k(1,-1,-1)
Risposte
In futuro ti conviene scegliere un titolo più adatto, scrivere meglio le formule e cercare di ridurre gli errori ortografici.. Altrimenti sarai ignorato!
Il piano che cerchi, chiamiamolo $pi$, deve avere vettore direttore ortogonale a entrambi i vettori direttori dei piani $a$ e $b$, perché sia ortogonale ad essi. Ma è FALSO che $a$ e $b$ debbano essere paralleli, perché $pi$ esista!!
Pensa un attimo al muro di casa tua. Due pareti che si incontrano NON sono parallele.. Il pavimento tuttavia è ortogonale a entrambe!
I vettori direttori dei due piani, come hai detto, sono $V_a=(1,1,1)$ e $V_b=(1,-1,-1)$.
Per avere un vettore ortogonale ad entrambi questi, puoi moltiplicarli vettorialmente, ottenendo $(0,2,-2)$. Perciò il vettore direttore di $pi$ è $V_pi=(0,1,-1)$.
E quindi per il momento hai $y-z+alpha=0$, con $alpha in RR$.
Per determinare $alpha$, e quindi $pi$, imponi che $P(1,0,-1)$ appartenga a $pi$, sostituendo i valori nell'equazione qui sopra, e ottenendo $1+alpha=0$.
Quindi $alpha=-1$.
Perciò il piano che cerchi è $pi: y-z-1=0$.
Il piano che cerchi, chiamiamolo $pi$, deve avere vettore direttore ortogonale a entrambi i vettori direttori dei piani $a$ e $b$, perché sia ortogonale ad essi. Ma è FALSO che $a$ e $b$ debbano essere paralleli, perché $pi$ esista!!
Pensa un attimo al muro di casa tua. Due pareti che si incontrano NON sono parallele.. Il pavimento tuttavia è ortogonale a entrambe!
I vettori direttori dei due piani, come hai detto, sono $V_a=(1,1,1)$ e $V_b=(1,-1,-1)$.
Per avere un vettore ortogonale ad entrambi questi, puoi moltiplicarli vettorialmente, ottenendo $(0,2,-2)$. Perciò il vettore direttore di $pi$ è $V_pi=(0,1,-1)$.
E quindi per il momento hai $y-z+alpha=0$, con $alpha in RR$.
Per determinare $alpha$, e quindi $pi$, imponi che $P(1,0,-1)$ appartenga a $pi$, sostituendo i valori nell'equazione qui sopra, e ottenendo $1+alpha=0$.
Quindi $alpha=-1$.
Perciò il piano che cerchi è $pi: y-z-1=0$.
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