[Geometria analitica] alcuni esercizi che non mi sono chiari

[gandelf]

Avevo già postato tempo fa alcune di queste domande.. spero che qualcuno possa aiutarmi a risolvere alcuni di questi dubbi.. thx

1) Come si trova una retta perpendicolare a un altra nello spazio?? nel 2d la direzione di una retta perpendicolare a ax + by + c = 0 è (a,b) ma nel 3d come si fa??? E l'inverso per un piano: da questa forma ax + by + cz + d = 0, so trovare un piano perpendicolare (a,b,c) ma uno parallelo come lo si trova??

2)Trovare l'equazione cartesiana del cilindro avente generatrici di direzione (1,1,1) e direttrice la curva di equazioni {3x^2 + 8xy -3y^2 + 10z^2 + 10x -20y=5; z-4=0}

3)Siano dati il punto A(2 ,3) e la retta s : x - 3y + 4 = 0 ; scrivere le equazioni della rotazione attorno all’origine del sistema di riferimento che porta il semiasse negativo delle ordinate a passare per A. Determinare, rispetto al sistema di riferimento così ottenuto, le coordinate del punto A e l’equazione della retta s.

4) Studiare, al variare del parametro k sull'insieme dei numeri reali, le mutue posizioni tra i piani
a: (2 + k)x + (k -1) y + (1- k)z + 3 + k = 0 e la retta r: {4x + 5y - z =0; 5x+y+4z=7}
devo fare un sistema con le 3 equazioni??

5)Studiare, al variare del parametro t in R, il sistema {(4-t)x + (t-1)y=t; tx + y= t;}e dare un’interpretazione geometrica, in R2, dei risultati ottenuti.
Qua devo applicare il teorema di rouchy cappelli vero??

6)centro del fascio di rette di equazione (3a + 2b)x + (a - b) y + 6a - b = 0 ???

7)Determinare le equazioni di un movimento rigido che porta l'asse delle ordinate e quello delle ascisse a coincidere, rispettivamente, con le rette a: 2x - y + 4 = 0 e b: x + 2y - 3 = 0 ; trovare, inoltre, le coordinate che assume nel nuovo sistema di riferimento il punto A(2,1).

Alla domanda numero 3 avevo già avuto risposta anche se ancora qualche dubbio mi rimane.. qualcuno ha idea di come fare le altre??

[fireball1]

7) L'angolo di cui si deve ruotare è tale che la
sua tangente è 2, infatti il coefficiente angolare
della retta $2x-y+4=0$ è 2. Sai che la tangente
è 2, da questa ricavi il seno e il coseno usando formule
goniometriche opportune e scrivi la matrice di rotazione;
infine, bisogna applicare una traslazione di vettore $((0),(4))$,
infatti, se non applicassimo questa traslazione, l'asse delle ascisse
si andrebbe a trovare sulla retta $y=2x$, ma l'equazione della retta
assegnata è $y=2x+4$; il movimento rigido sarà allora una rototraslazione.
Troverai che seno e coseno dell'angolo la cui tangente è 2 sono:
$cosphi=1/sqrt5$
$sinphi=2/sqrt5$.
La matrice della rotazione sarà allora:
$((1/sqrt5,-2/sqrt5),(2/sqrt5,1/sqrt5))$
e l'equazione della trasformazione sarà:
$((x),(y))=((1/sqrt5,-2/sqrt5),(2/sqrt5,1/sqrt5))*((1),(0))$
dove $((1),(0))$ è il versore dell'asse delle ascisse.
Si può verificare che l'equazione della rotazione è corretta, infatti
eseguendo i calcoli otterrai il (un) vettore direzionale della
retta data: $((1/sqrt5),(2/sqrt5))$. Poiché la retta passa
per il punto sull'asse y di ordinata 4, questa avrà equazioni parametriche:
${(x=1/sqrt5 t),(y=4+2/sqrt5 t):}$
ricavando t dalla prima equazione e sostituendo nella seconda,
infatti, ti torna la retta data in forma cartesiana, $y=2x+4$.

[fireball1]

Per quanto riguarda la verifica se due rette
nello spazio (così come nel piano) sono perpendicolari, è sufficiente
osservare che esse sono perpendicolari se e
solo se lo sono i loro vettori direzionali, e quindi
se e solo se il loro prodotto scalare è nullo.

[gandelf]

ciao fireball, grazie mille per l'aiuto... ok penso di aver capito l'ultima cosa che hai detto.. tuttavia riguardo all'esercizio 7 ho ancora dei dubbi.. non ho capito da daove salti fuori quel vettore iniziale e da li mi sono bloccato..

[gandelf]

qualche altra idea?

[fireball1]

Quale vettore iniziale?

[gandelf]

il vettore è questo:

bisogna applicare una traslazione di vettore (04),

scusa del ritardo ma ho avuto probl di connessione

[fireball1]

Beh, se la retta immagine dell'asse delle
ascisse deve passare per il punto $P=((0),(4))$,
occorre applicare quella traslazione dopo
aver applicato la rotazione di angolo $phi=arc cos(1/sqrt5)