Geometria analitica

[mirco000123]

salve avrei un problema riguardo un punto di questa traccia d esame:

Fissato nello spazio vettoriale ordinario un sistema di riferimento cartesiano RC si considerino i piani:

$g: 5x-12z-25=0$
$h: x+y-z+12$
$j: z=0$

a) trovare la sfera S tangente a g nel punto $P(5,0,0)$ ed avente centro su h
b) determinare centro e raggio della circonferenza C=S intersezione j

[sandroroma]

Il centro C della sfera è l'intersezione del piano h con la normale al piano g condotta dal punto P.
Fatto questo, il raggio della sfera richiesta è chiaramente la distanza CP.
Se non ho sagliato conti per la sfera dovresti trovare questa equazione:
$x^2+y^2+(z-12)^2=169$
Questo per il quesito (a). Una volta risolto (a), il quesito (b) è sufficientemente agevole da concludere.
A te i calcoli.

[mirco000123]

ciao grazie per la risposta, mi spiegheresti numericamente cosa significa (intersezione del piano h con la normale al piano g condotta dal punto P.)
grazie mille per la tua disponibilità

[sandroroma]

La retta normale al piano g ha come vettore direzionale quello formato dai coefficienti di x,y,z nell'equazione
di g e quindi è il vettore $(5,0,-12)$
Pertanto la normale richiesta ( passante per P) ha equazioni:
$(x-5)/5=(y-0)/0=(z-0)/(-12)$
che si riduce in effetti al sistema:
\begin{equation}\begin{cases} 12x+5z-60=0\\y=0\end{cases}\end{equation}
Adesso, per ottenere le coordinate del centro C della sfera, si deve risolvere il sistema costituito
dalle equazioni della normale e quella del piano h:
\begin{equation}\begin{cases} 12x+5z-60=0\\y=0\\x+y-z+12=0\end{cases}\end{equation}
La soluzione è $C(0,0,12)$ che è il richiesto centro della sfera.
Per avere il raggio di detta sfera occorre determinare la distanza $\bar{CP}$ :
$\bar{CP}=\sqrt((5-0)^2+(0-0)^2+(0-12)^2)=13$
Pertanto l'equazione della sfera è:
$(x-0)^2+(y-0)^2+(z-12)^2=13^2$
che è quella che ti ho suggerito in precedenza.