Geometria analitica
Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano, siano le rette $r: x-y=x-z=0$ e $s:x+y=z-2=0$
(c) determinare a circonferenza $C$ tangente as $s$ in $A(0,0,2)$ e passante per l'origine.
Potreste aiutarmi con questo punto del problema? Non riesco a risolverlo e a comprenderlo
(c) determinare a circonferenza $C$ tangente as $s$ in $A(0,0,2)$ e passante per l'origine.
Potreste aiutarmi con questo punto del problema? Non riesco a risolverlo e a comprenderlo
Risposte
dovrebbe essere così :
la circonferenza si trova nel piano contenente le retta $s$ e l'origine $O$
determinato questo piano,la circonferenza è l'intersezione di esso con una delle infinite sfere passanti per $O$ e tangenti ad $s$ in $A$
la circonferenza si trova nel piano contenente le retta $s$ e l'origine $O$
determinato questo piano,la circonferenza è l'intersezione di esso con una delle infinite sfere passanti per $O$ e tangenti ad $s$ in $A$
Se utilizzo l'equazione del fascio di piani per ricavare la retta mi viene :
$a(x+y)+b(z-2)=0$ e se impongo il passaggio per $O$ allora mi viene che $b=0$
Quindi il piano dovrebbe essere $a(x+y)=0$ , se per esempio assegno ad $a=1$ allora il piano $alpha : x+y=0 $ ?
Quindi l'equazione della sfera sarebbe $\Sigma : (x-alpha)+(y-beta)+(z-gamma)= d(OA)^2$ quindi uguale $\Sigma : x^2+y^2+z^2-4=0$
La circonferenza è data dall'intersezione tra $\Sigma \cap alpha$ quindi $\{(x^2+y^2+z^2=4), (x+y=0) :}$
La distanza tra il piano e il centro della sfera $d(O,alpha)=1/sqrt(2)$ quindi il $r_c = sqrt(4-1/2) = sqrt(7/3)
L'equazione della circonferenza quindi sarebbe?
$a(x+y)+b(z-2)=0$ e se impongo il passaggio per $O$ allora mi viene che $b=0$
Quindi il piano dovrebbe essere $a(x+y)=0$ , se per esempio assegno ad $a=1$ allora il piano $alpha : x+y=0 $ ?
Quindi l'equazione della sfera sarebbe $\Sigma : (x-alpha)+(y-beta)+(z-gamma)= d(OA)^2$ quindi uguale $\Sigma : x^2+y^2+z^2-4=0$
La circonferenza è data dall'intersezione tra $\Sigma \cap alpha$ quindi $\{(x^2+y^2+z^2=4), (x+y=0) :}$
La distanza tra il piano e il centro della sfera $d(O,alpha)=1/sqrt(2)$ quindi il $r_c = sqrt(4-1/2) = sqrt(7/3)
L'equazione della circonferenza quindi sarebbe?
scrivendo l'equazione generica della sfera nel seguente modo $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
ed incominciando ad imporre il passaggio per $A$ e $O$ si ha che l'equazione è del tipo $x^2+y^2+z^2+ax+by-2z=0$
mettendo a sistema questa equazione con le equazioni della retta,arrivi ad un equazione di 2°grado
imponendo che il suo $Delta$ sia uguale a zero (condizione di tangenza) ottieni una relazione tra $a$ e $b$
dando un qualsiasi valore ad $a$ ottieni una delle infinite sfere che ,intersecate con il piano,danno la circonferenza cercata
edit : fissato un piano ed una circonferenza su di esso,esistono infinite sfere che intersecate con il piano danno sempre la stessa circonferenza
ed incominciando ad imporre il passaggio per $A$ e $O$ si ha che l'equazione è del tipo $x^2+y^2+z^2+ax+by-2z=0$
mettendo a sistema questa equazione con le equazioni della retta,arrivi ad un equazione di 2°grado
imponendo che il suo $Delta$ sia uguale a zero (condizione di tangenza) ottieni una relazione tra $a$ e $b$
dando un qualsiasi valore ad $a$ ottieni una delle infinite sfere che ,intersecate con il piano,danno la circonferenza cercata
edit : fissato un piano ed una circonferenza su di esso,esistono infinite sfere che intersecate con il piano danno sempre la stessa circonferenza
Grazie mille per l'aiuto. Comunque credo che imponendo il passaggio per $A$ e $O$ la sfera dovrebbe essere : $x^2+y^2+z^2+ax+by+2z=0$ perchè il punto $A=(0,0,2)$
Quindi così facendo e mettendo a sistema ricavo: $ \{(x^2+y^2+z^2+ax+by+2z=0), (x+y=0), (z-2=0) :} $
che è uguale a : $ 2y^2 + y(b-a) +8=0$ . Ponendo il $Delta=0$ per la condizione di tangenza ottengo che : $(b-a)^2 -64 =0$ cioè $b^2+a^2-2ab-64=0$
Assegnando ad $a$ un valore $1$ allora mi viene : $b^2+1-2b-64=0$ e risolvendo l'equazione di secondo grado mi vengono due valori di $b$ cioè $b=-7$ e $b=9$ . Quindi scelgo uno dei due valori e va bene lo stesso? oppure c'è qualcosa di sbagliato?
Quindi così facendo e mettendo a sistema ricavo: $ \{(x^2+y^2+z^2+ax+by+2z=0), (x+y=0), (z-2=0) :} $
che è uguale a : $ 2y^2 + y(b-a) +8=0$ . Ponendo il $Delta=0$ per la condizione di tangenza ottengo che : $(b-a)^2 -64 =0$ cioè $b^2+a^2-2ab-64=0$
Assegnando ad $a$ un valore $1$ allora mi viene : $b^2+1-2b-64=0$ e risolvendo l'equazione di secondo grado mi vengono due valori di $b$ cioè $b=-7$ e $b=9$ . Quindi scelgo uno dei due valori e va bene lo stesso? oppure c'è qualcosa di sbagliato?
ma con $+2z$ al primo membro ,sostituendo le coordinate di $A$ ti viene $8=0$
ti tocca rifare i calcoli
una volta trovata la relazione tra $a$ e $b$ va bene qualsiasi coppia di valori che la soddisfi
ti tocca rifare i calcoli
una volta trovata la relazione tra $a$ e $b$ va bene qualsiasi coppia di valori che la soddisfi
Aaaaah sisi giusto, ma perdona la mia ignoranza, non capisco da dove viene fuori quel $-2z$ che avevi scritto prima sinceramente 
allora,gia il passaggio per l'origine impone che l'equazione sia del tipo $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz=0$
il passaggio per $A$ porta all'equazione $4+2c=0$ cioè $c=-2$
il passaggio per $A$ porta all'equazione $4+2c=0$ cioè $c=-2$
Giusto, che pollo. Scusa davvero l'ignoranza, era banale come soluzione 
è che mi sto "addentrando" per le prime volte nella geometria e all'inizio faccio molta fatica.
Dunque tornando alla sfera, da $ \{(x^2+y^2+z^2+ax+by-2z=0), (x+y=0), (z-2=0) :} $ ottengo che
$2y^2+y(b-a)=0$ . Impongo la condizione di tangenza $Delta=0$ e ottengo che $(b-a)^2=0$ Quindi assegnato valore $a=1$ ottengo che $b=1$ e la mia sfera sarà : $Sigma : x^2+y^2+z^2+x+y-2x=0$
Ora la circonferenza richesta sarà $C = \Sigma \cap alpha = {(x^2 +y^2+z^2+x+y-2z=0), (x+y=0):}$
Giusto? Basta mettere l'intersezione o devo proprio ricavarmi l'equazione della circonferenza ?
è che mi sto "addentrando" per le prime volte nella geometria e all'inizio faccio molta fatica.Dunque tornando alla sfera, da $ \{(x^2+y^2+z^2+ax+by-2z=0), (x+y=0), (z-2=0) :} $ ottengo che
$2y^2+y(b-a)=0$ . Impongo la condizione di tangenza $Delta=0$ e ottengo che $(b-a)^2=0$ Quindi assegnato valore $a=1$ ottengo che $b=1$ e la mia sfera sarà : $Sigma : x^2+y^2+z^2+x+y-2x=0$
Ora la circonferenza richesta sarà $C = \Sigma \cap alpha = {(x^2 +y^2+z^2+x+y-2z=0), (x+y=0):}$
Giusto? Basta mettere l'intersezione o devo proprio ricavarmi l'equazione della circonferenza ?
no, resta il sistema
è come la retta che è data dal sistema di 2 equazioni
è come la retta che è data dal sistema di 2 equazioni
Ok grazie mille per l'aiuto. Sei stato gentilissimo stormy !
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