Geometria
Fissato un riferimento cartesiano nello spazio,si considerino la retta $r$ passante per i punti $A(1,1,1)$ e $B(2,1,-1)$ e il piano $alpha$ $:2x+y-z=1$.
a)Determinare la retta per $P(1,2,0)$,parallela ad $alpha$ e ortogonale alla retta $r$.
b)Determinare il piano contenente la retta $r$ e ortogonale al piano $alpha$.
c)Determinare il piano contenente l’asse delle ascisse e parallelo alla retta $r$.
d)Determinare una retta del piano $alpha$ complanare con la retta $r$.
Ragazzi vi prego aiutatemi..!!
a)Determinare la retta per $P(1,2,0)$,parallela ad $alpha$ e ortogonale alla retta $r$.
b)Determinare il piano contenente la retta $r$ e ortogonale al piano $alpha$.
c)Determinare il piano contenente l’asse delle ascisse e parallelo alla retta $r$.
d)Determinare una retta del piano $alpha$ complanare con la retta $r$.
Ragazzi vi prego aiutatemi..!!
Risposte
Nel punto b) per determinare il piano contenente la retta r non si dovrerbbe sapere il punto per cui passa il piano...
cioè trovare l'equazione del piano mediante l'equazione del fascio di piani...??
cioè trovare l'equazione del piano mediante l'equazione del fascio di piani...??
"Aristotele":
Nel punto b) per determinare il piano contenente la retta r non si dovrerbbe sapere il punto per cui passa il piano...
cioè trovare l'equazione del piano mediante l'equazione del fascio di piani...??
sai che il piano contiene la retta r, quindi scrivi l'equazione del fascio di piani, e poi imponi l'ortogonalità con il piano $alpha$
si ma per trovare i coefficienti $lambda$ e $mu$ come faccio se non ho un punto che soddisfa tale fascio??
per l'ortogonalità con il piano $alpha$ intendi questo:
$(a,b,c)*(a',b',c')=(a,b,c)*(2,1,-1)=(2a,b,-c)$ $=>$ $a*a'+b*b'+c*c'=0$ $=>$ $2a+b-c=0$
$(a,b,c)*(a',b',c')=(a,b,c)*(2,1,-1)=(2a,b,-c)$ $=>$ $a*a'+b*b'+c*c'=0$ $=>$ $2a+b-c=0$
Ho svilluppato i punti a e b dell'esercizio....potete dirmi se li ho svolti bene e magari spiegarmi come si fanno i successivi...
a)
Calcolo il vettore direzione $v_r’$ della retta $r’$ che passa per i punti $A$ e $B$ che risulta:
$v_r’=(l’,m’n’)=(1,0,-2)$
quindi la retta $r’$ avrà equazioni parametriche:
${(x=1+t),(y=1),(z=1-2t):}$
Ora dobbiamo imporre l’ortogonalità tra la nostra retta $r’$ e la retta da determinare cioè $r$
Quindi:
$(1,0,-2)*(l,m,n)=l-2n=0$
Pongo in forma omogenea il piano $alpha$ e ottengo:
$2l+m-n=0$
metto a sistema la retta r e il piano $alpha$:
${(2l+m-n=0),( l-2n=0):}$
${(m=-3n),(l=2n ):}$
$(l,m,n)=(2n,-3n,n)=n(2,-3,1)$
quindi la retta $r$ avrà equazioni parametriche:
${(x=1+2t),(y=2-3t),(z=t):}$
b)
Ricavo la forma cartesiana di $r'$ cioè:
${(y-1=0),(2x+z-3=0):}$
Scrivo l'equazione del fascio cioè:
$lambda*(y-1)+mu*(2x+z-3)=0$
$2mux+lambday+muz-3mu-lambda=0$
Ora impongo la condizione di ortogonalità tra i piani $alpha$ e $alpha'$ cioè:
$4mu+lambda-mu=0$
$3mu+lambda=0$
dunque dobbiamo porre $mu=0$ in
$lambda*(y-1)+mu*(2x+z-3)=0$
e si ha
$lambda*(y-1)+0=0$
quindi il piano cercato è
$y-1=0$
a)
Calcolo il vettore direzione $v_r’$ della retta $r’$ che passa per i punti $A$ e $B$ che risulta:
$v_r’=(l’,m’n’)=(1,0,-2)$
quindi la retta $r’$ avrà equazioni parametriche:
${(x=1+t),(y=1),(z=1-2t):}$
Ora dobbiamo imporre l’ortogonalità tra la nostra retta $r’$ e la retta da determinare cioè $r$
Quindi:
$(1,0,-2)*(l,m,n)=l-2n=0$
Pongo in forma omogenea il piano $alpha$ e ottengo:
$2l+m-n=0$
metto a sistema la retta r e il piano $alpha$:
${(2l+m-n=0),( l-2n=0):}$
${(m=-3n),(l=2n ):}$
$(l,m,n)=(2n,-3n,n)=n(2,-3,1)$
quindi la retta $r$ avrà equazioni parametriche:
${(x=1+2t),(y=2-3t),(z=t):}$
b)
Ricavo la forma cartesiana di $r'$ cioè:
${(y-1=0),(2x+z-3=0):}$
Scrivo l'equazione del fascio cioè:
$lambda*(y-1)+mu*(2x+z-3)=0$
$2mux+lambday+muz-3mu-lambda=0$
Ora impongo la condizione di ortogonalità tra i piani $alpha$ e $alpha'$ cioè:
$4mu+lambda-mu=0$
$3mu+lambda=0$
dunque dobbiamo porre $mu=0$ in
$lambda*(y-1)+mu*(2x+z-3)=0$
e si ha
$lambda*(y-1)+0=0$
quindi il piano cercato è
$y-1=0$
volevo chiedere un'altra cosa ma nel punto c)Determinare il piano contenente l’asse delle ascisse e parallelo alla retta $r$
significa che bisogna determinare il piano parallelo all'asse coordinato delle x cioè che l'equazione del piano deve avere il termine noto d diverso da $0$....per favore aiutatemi grazie!!
significa che bisogna determinare il piano parallelo all'asse coordinato delle x cioè che l'equazione del piano deve avere il termine noto d diverso da $0$....per favore aiutatemi grazie!!
Non deve essere parallelo all'asse $x$, ma lo deve contenere. Visto che deve contenere l'asse $x$ allora questo piano è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$, quindi è generato da due vettori. Uno di questi vettori è $(1,0,0)$ (asse $x$), l'altro è $(1,0,-2)$, che è il vettore direzione della retta.
ma i punti che ho fatto io sono svolti bene??
A parte inesattezze di termini,il punto (a) va bene.Per il punto (b) ,invece,
non puoi porre $mu=0$ ma $lambda=-3mu$ con $mu!=0$
Sostituendo hai:
$-3mu(y-1)+mu(2x+z-3)=0$ da cui $2x-3y+z=0$
Per il punto (c) puoi anche fare cosi'.
Le equazioni dell'asse x sono $y=0 ,z=0$ e quindi il fascio di
piani passanti per esso e' $lambday+muz=0$ .Imponendo il parallelismo con r si ha:
$(0,lambda,mu)*(1,0,-2)=0$ da cui $mu=0$ e dunque il piano richiesto ha
equazione $y=0$ ovvero e' il piano xz.A questo risultato si puo' anche giungere
osservando che i punti A e B sono nel piano $y=1$ che e' appunto parallelo al piano xz.
Per il punto (d) basta osservare che la retta r appartiene,come si e' detto,al piano
$y-1=0$ e quindi la retta richiesta e' data dal sistema:
${[y-1=0],[2x+y-z=1]:}$
karl
non puoi porre $mu=0$ ma $lambda=-3mu$ con $mu!=0$
Sostituendo hai:
$-3mu(y-1)+mu(2x+z-3)=0$ da cui $2x-3y+z=0$
Per il punto (c) puoi anche fare cosi'.
Le equazioni dell'asse x sono $y=0 ,z=0$ e quindi il fascio di
piani passanti per esso e' $lambday+muz=0$ .Imponendo il parallelismo con r si ha:
$(0,lambda,mu)*(1,0,-2)=0$ da cui $mu=0$ e dunque il piano richiesto ha
equazione $y=0$ ovvero e' il piano xz.A questo risultato si puo' anche giungere
osservando che i punti A e B sono nel piano $y=1$ che e' appunto parallelo al piano xz.
Per il punto (d) basta osservare che la retta r appartiene,come si e' detto,al piano
$y-1=0$ e quindi la retta richiesta e' data dal sistema:
${[y-1=0],[2x+y-z=1]:}$
karl
Grazie Karl!!ammetto di aver postato lo svolgimento del punto a) in modo confusionario però menomale che è fatto bene....
ciao e grazie ancora!!
ciao e grazie ancora!!
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