GEOMETRIA
sia $f:V->V$ applicazione lineare con $V$ spazio vettoriale di dimensione $n$ e $rg(f^(n))=r$. (dove $rg$ sta per rango di $f$)
dimostrare che $f$ ha al più $r+1$ autovalori distinti.
ciao ciao e a presto
dimostrare che $f$ ha al più $r+1$ autovalori distinti.
ciao ciao e a presto
Risposte
a me pare che valga (e da qui segue la tesi facilmente... se avessi $r+1$ autovalori allora... ):
-se $f$ ha $n$ autovalori distinti $=>rg (f^k)>=n$ per ogni $k$;
e questo si può vedere osservando che se vi erano degli autovettori indipendenti nel dominio, lo saranno anche nell'immagine, oppure scrivendo la $f$ in forma matriciale usando gli autovettori come base e osservando i ranghi dell matrici che escono fuori (per induzione si mostra che la matrice rappresentante la funzione sarà sempre di una medesima forma)...
se è giusto e se interessano particolari fatemi sapere...
-se $f$ ha $n$ autovalori distinti $=>rg (f^k)>=n$ per ogni $k$;
e questo si può vedere osservando che se vi erano degli autovettori indipendenti nel dominio, lo saranno anche nell'immagine, oppure scrivendo la $f$ in forma matriciale usando gli autovettori come base e osservando i ranghi dell matrici che escono fuori (per induzione si mostra che la matrice rappresentante la funzione sarà sempre di una medesima forma)...
se è giusto e se interessano particolari fatemi sapere...
io non ho ben capito... potresti spiegarmelomeglio... per favore?
scusa ma vedo che non ho tempo di spiegarmi scrivendo formalmente...
quello che voglio dire è che se prendi la f:
- la f ha n autovalori $=>$ la f ha almeno n autovettori indipendenti;
- se applichi la f le immagini dedgli n autovettori che erano indipendenti nel dominio saranno autovettori indipendenti nello spazio immagine (dimostrare!);
quindi ragionando in questo modo anche applicando la $f$ se all'inizo avevi $n$ autovettori indipendenti avrai sempre almeno $n-1$ autovettori indipendenti (al max un autovettore può finire nello zero, se vi era 0 come autovalore).
Ora guarda il tuo problema... se la f avesse avuto r+2 autovalori applicando quante volte vuoi la f l'immagine avrà sempre dimensione >= r+1... ma questo non và bene perchè per ipotesi ad un certo punto hai dimensione dell'immagine uguale ad n....
quello che voglio dire è che se prendi la f:
- la f ha n autovalori $=>$ la f ha almeno n autovettori indipendenti;
- se applichi la f le immagini dedgli n autovettori che erano indipendenti nel dominio saranno autovettori indipendenti nello spazio immagine (dimostrare!);
quindi ragionando in questo modo anche applicando la $f$ se all'inizo avevi $n$ autovettori indipendenti avrai sempre almeno $n-1$ autovettori indipendenti (al max un autovettore può finire nello zero, se vi era 0 come autovalore).
Ora guarda il tuo problema... se la f avesse avuto r+2 autovalori applicando quante volte vuoi la f l'immagine avrà sempre dimensione >= r+1... ma questo non và bene perchè per ipotesi ad un certo punto hai dimensione dell'immagine uguale ad n....