Geometria 1: esercizio sullo spazio ??

[marthy_92]

Salve a tutti ho dei dubbi con questo esercizio.

Determinare , se esistono, le equazioni dei piani passanti per l'origine , perpendicolari al piano
di equazione 2x+z=0 e che formano un angolo di 60 gradi con l'asse z.


Ho ragionato così. Ho considerato la stella di piani passante per l'origine.. quindi applico la formula e ho
ax + by + cz=0

Quindi ho imposto la condizione di perpendicolarità tra il piano dato e i piani della stella (a*a' + b*b' + c+c' = 0 )
--> 2*a + 0*b + c*1 = 0 ---> 2a = -c

A questo punto ho considerato l'asse z come intersezione dei piani x=0 e y=0. Quindi ho ricavato i parametri
direttori di questo asse che risultano essere (l, m, n ) = (0,0,1)
Adesso ho usato la formula per il calcolo dell'angolo tra la retta il piano

sin $ pi $ r = ( al + bm+ cn) / ( \( \surd (a^2+b^2+c^2)\surd (l^2+m^2+n^2) \) ed ho uguagliato a \( \surd 3 / 2 \)

Quindi dopo vari calcoli ottengo
\( \surd 3*\surd (a^2+b^2+c^2) = 2c \)
quindi c = \( \pm \) \( \surd (3a^2+3b^2) \)

e sfruttando la condizione prima trovata (2a=-c) ottengo due valori per a
a = - (\(\surd (3a^2+3b^2)\))/2 e a = + (\(\surd (3a^2+3b^2)\))/2

Quindi andando a sostituire i valori nell'equazione iniziale della stella ho due "categorie" di piani

1) - (\(\surd (3a^2+3b^2)\))/2 x + by + \( \surd (3a^2+3b^2) \) z =0
2) + (\(\surd (3a^2+3b^2)\))/2 x + by - \( \surd (3a^2+3b^2) \) z =0

e giusto così ?

[Sk_Anonymous]

Concettualmente il procedimento va bene. Devi solo formalizzare meglio i calcoli ( non puoi lasciare...appesi i coefficienti a e b) partendo dalla relazione che hai scritto :
$sqrt3 cdot sqrt{a^2+b^2+c^2}=2|c|$
Ovvero (essendo $c=-2a$) :
$sqrt3 cdot sqrt{a^2+b^2+4 a^2}=4|a|$
Da cui elevando al quadrato :
$15a^2+3b^2=16a^2$
e quindi :
\(\displaystyle \begin{cases} a=\pm b\sqrt3\\c=-2a=\mp2b\sqrt3 \end{cases} \)
Pertanto, ponendo ad es. $b=1$, i piani richiesti sono due ed hanno equazioni :
\(\displaystyle \pm x \sqrt3+ y \mp 2z \sqrt 3=0 \)

[marthy_92]

Grazie dell'aiuto Ciromario Una domanda: ma perchè hai scritto :

\( \surd 3*\surd (a^2+b^2+c^2) = 2|c| \)

e non semplicemente

\( \surd 3*\surd (a^2+b^2+c^2) = 2c \). Perchè c può essere sia > che < di zero ???

[Sk_Anonymous]

L'angolo tra due rette (o fra due piani) per definizione è sempre l'angolo più piccolo formato dalle due rette ( sempre che le rette non siano perpendicolari o parallele). Di conseguenza la formula del coseno dell'angolo fra due rette deve essere calcolato in modulo. Questo nel nostro caso porta a due valori per a e c: uno positivo e uno negativo.