Geometria 1
Tre esercizi che stamattina non sono riuscita a fare:
1) sia V=U*W il prodotto di due K-spazi vettoriali. Se $(u_1, ..., u_n)$ è una base di U e $(w_1, ..., w_m)$ è una base di W, dimostrare che $(u_1, 0),..,(u_n, 0), (0, w_1), ..., (0, w_m)$ è una base di V.
(immagino serva il teorema di prolungamento ad una base o qualcosa di simile, ma vorrei capire proprio come bisogna prendere un esercizio simile e come lo si svolge per bene..)
2) Sia V uno spazio vettoriale sul campo $ZZ$ / p$ZZ$ con p elementi, p numero primo. Calcolare il numero di elementi di V, giustificando la risposta.
(eh?)
3)dimostrare che lo spazio vettoriale $RR$ su campo $QQ$ non è finitamente generato (usando che $QQ$ è numerabile ma $RR$ non lo è).
il mio problema è che non riesco a mantenere un minimo di rigore formale nelle dimostrazioni..per alcune cose riesco a spiegare in modo discorsivo perchè funzionano in un dato modo, ma poi non so da che parte cominciare a dimostrarle formalmente..
1) sia V=U*W il prodotto di due K-spazi vettoriali. Se $(u_1, ..., u_n)$ è una base di U e $(w_1, ..., w_m)$ è una base di W, dimostrare che $(u_1, 0),..,(u_n, 0), (0, w_1), ..., (0, w_m)$ è una base di V.
(immagino serva il teorema di prolungamento ad una base o qualcosa di simile, ma vorrei capire proprio come bisogna prendere un esercizio simile e come lo si svolge per bene..)
2) Sia V uno spazio vettoriale sul campo $ZZ$ / p$ZZ$ con p elementi, p numero primo. Calcolare il numero di elementi di V, giustificando la risposta.
(eh?)
3)dimostrare che lo spazio vettoriale $RR$ su campo $QQ$ non è finitamente generato (usando che $QQ$ è numerabile ma $RR$ non lo è).
il mio problema è che non riesco a mantenere un minimo di rigore formale nelle dimostrazioni..per alcune cose riesco a spiegare in modo discorsivo perchè funzionano in un dato modo, ma poi non so da che parte cominciare a dimostrarle formalmente..
Risposte
ciao ciao
per il primo è abbastanza semplice poichè se $(v,w) in V$ allora $v$ è c.l. di elementi della base di $U$ e stessa cosa dicasi per $v$ quindi $(u_1, 0),..,(u_n, 0), (0, w_1), ..., (0, w_m)$ è insieme di generatori, per l'indipendenza segue immediatamente dall'indipendenza in $U$ e $W$.
per il secondo forse ti sei dimenticato la dimensione che supponiamo essere $n$ allora ti chiedo in quanti modi puoi mettere $n$ elementi in $p$ posti???
per il terzo anche abbastanza semplice... sfrutta il suggerimetno che hai scritto.
a presto
per il primo è abbastanza semplice poichè se $(v,w) in V$ allora $v$ è c.l. di elementi della base di $U$ e stessa cosa dicasi per $v$ quindi $(u_1, 0),..,(u_n, 0), (0, w_1), ..., (0, w_m)$ è insieme di generatori, per l'indipendenza segue immediatamente dall'indipendenza in $U$ e $W$.
per il secondo forse ti sei dimenticato la dimensione che supponiamo essere $n$ allora ti chiedo in quanti modi puoi mettere $n$ elementi in $p$ posti???
per il terzo anche abbastanza semplice... sfrutta il suggerimetno che hai scritto.
a presto
c.l.?
Il secondo era scritto proprio così..in questo caso è lecito supporre che la dim è n?
per il terzo il punto è che non so proprio da dove partire per una dimostrazione formale..
Il secondo era scritto proprio così..in questo caso è lecito supporre che la dim è n?
per il terzo il punto è che non so proprio da dove partire per una dimostrazione formale..
sta per combinazione lineare...scusa
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