[geom analitica] 2 problemi molto difficili..(per me almeno)
raga, non ho la minima idea di come si possano risolvere questi due problemi:
Studiare, al variare del parametro k sull'insieme dei numeri reali, le mutue posizioni tra i piani
a: (1+ k)x + (k - 2) y + (2 - k)z + 2 + k = 0 e la retta r: {4x+5y-z=0 ;5x+y+4z=7}
Scrivere le equazioni della circonferenza g passante per i punti A(1,0,0), B(0,-1,0) e C(0,0,1).
Determinare, inoltre, le coordinate del centro ed il raggio di g.
Per il primo so che bisogna usare il teorema di R.C ma riducendo la matrice a gradini mi da dei risultati stranissimi
Per la seconda invece non ne ho proprio idea.. una circonferenza con asse z.. bohhhh
grazie anticipatamente
Studiare, al variare del parametro k sull'insieme dei numeri reali, le mutue posizioni tra i piani
a: (1+ k)x + (k - 2) y + (2 - k)z + 2 + k = 0 e la retta r: {4x+5y-z=0 ;5x+y+4z=7}
Scrivere le equazioni della circonferenza g passante per i punti A(1,0,0), B(0,-1,0) e C(0,0,1).
Determinare, inoltre, le coordinate del centro ed il raggio di g.
Per il primo so che bisogna usare il teorema di R.C ma riducendo la matrice a gradini mi da dei risultati stranissimi
Per la seconda invece non ne ho proprio idea.. una circonferenza con asse z.. bohhhh
grazie anticipatamente
Risposte
"gandelf":
Scrivere le equazioni della circonferenza g passante per i punti A(1,0,0), B(0,-1,0) e C(0,0,1).
Determinare, inoltre, le coordinate del centro ed il raggio di g.
siano $c_x,c_y,c_z$ le coordinate del centro, evidentemente i punti $A,B,C$ sono equidistanti dal centro, per cui
$(1-c_x)^2+(0-c_y)^2+(0-c_z)^2=r^2$
$(0-c_x)^2+(-1-c_y)^2+(0-c_z)^2=r^2$
$(0-c_x)^2+(0-c_y)^2+(1-c_z)^2=r^2$
dove $r$ è il raggio della circonferenza, risolvendo questo sistema a trovi $c_x,c_y$ da cui ricavi $r$.
ciao Carlo23, grazie mille per la risposta e scusa per il ritardo. Purtroppo ho disdetto l'adsl e non avevo altra connessione sino ad oggi.
Penso di aver capito per il primo esercizio, rigrazie
Penso di aver capito per il primo esercizio, rigrazie
Scusate, ma quelle non sono le equazioni di una sfera?
In tre dimensioni una circonferenza non si può
scrivere come equazione cartesiana, ma come equazione parametrica.
In tre dimensioni una circonferenza non si può
scrivere come equazione cartesiana, ma come equazione parametrica.
avrei anche un'altra domanda:
la condizione di appartenenza di una retta ad un piano, significa che tutti i punti della retta devono appartenere al suddetto piano vero?
se è così, allora, per quale motivo tale condizione di appartenenza è la stessa del parallelismo?
ad esempio: in alcuni problemi alcuni esprimono la condizione di appartenenza di una retta a al piano b ponendo b come una delle espressioni della retta a. Altri invece impongono che la retta sia parallela al piano. Come è possibile che quest'ultima condizione equivalga alla condizione di appartenenza??
la condizione di appartenenza di una retta ad un piano, significa che tutti i punti della retta devono appartenere al suddetto piano vero?
se è così, allora, per quale motivo tale condizione di appartenenza è la stessa del parallelismo?
ad esempio: in alcuni problemi alcuni esprimono la condizione di appartenenza di una retta a al piano b ponendo b come una delle espressioni della retta a. Altri invece impongono che la retta sia parallela al piano. Come è possibile che quest'ultima condizione equivalga alla condizione di appartenenza??
Beh, capirai che appartenere ad un piano è equivalente ad essergli parallelo a condizione che un punto della retta stia sul piano.
"Maxos":
Beh, capirai che appartenere ad un piano è equivalente ad essergli parallelo a condizione che un punto della retta stia sul piano.
ah ok, però in alcuni mi sembra di non aver notato quest'ultima cosa..
"fireball":
Scusate, ma quelle non sono le equazioni di una sfera?
In tre dimensioni una circonferenza non si può
scrivere come equazione cartesiana, ma come equazione parametrica.
uhm quindi quella soluzione è sbagliata?
no no è giusta
ah ok grazie mille 
no no, aspetta, non è sufficiente!
con quelle tre trovi solo la retta per pendicolare al piano individuato dai tre punti e passante per il centro ma per trovare proprio il centro bisogna fare intersezione tra la retta trovata (che sarà funzione di un parametro tipo una delle tre coordinate del centro) e del piano dei tre punti.
con quelle tre trovi solo la retta per pendicolare al piano individuato dai tre punti e passante per il centro ma per trovare proprio il centro bisogna fare intersezione tra la retta trovata (che sarà funzione di un parametro tipo una delle tre coordinate del centro) e del piano dei tre punti.
"fireball":
Scusate, ma quelle non sono le equazioni di una sfera?
In tre dimensioni una circonferenza non si può
scrivere come equazione cartesiana, ma come equazione parametrica.
Prova ad applicare il teorema di Pitagora e scopri che l'equazione è proprio quella della sfera.
Beh no una equazione sola non può essere! Casomai una equazione cartesiana che rappresenta una sfera a sistema con una rappresentante un piano...
Tipo:
${(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=0):}$
Tipo:
${(x^2+y^2+z^2=1),(x+y+z=0):}$
Infatti, sono d'accordo con cavallipurosangue.
Il procedimento per trovare il centro e il raggio della
circonferenza è giusto ed è quello fornito
da carlo23, ma l'equazione non è banale scriverla.
Il procedimento per trovare il centro e il raggio della
circonferenza è giusto ed è quello fornito
da carlo23, ma l'equazione non è banale scriverla.
Suggerisco un procedimento diverso.
La circonferenza in questione appartiene a tutte le infinite sfere che passano
per A,B,C. Tra di esse scegliamone una qualsiasi,per es. quella passante
ulteriormente per O(0,0,0) [giusto per facilitare i calcoli]
Ora l'equazione della generica sfera per O e':
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz=0$ ed imponendo il passaggio per A,B,C
ottengo il semplicissimo sistema:
[1+a=0,1-b=0,1+c=0] e dunque la sfera in questione e':
$x^2+y^2+z^2-x+y-z=0$
Il piano passante anch'esso per A,B,C si ottiene in modo analogo.
Il piano generico e':
mx+ny+pz+q=0 ed imponendo il passaggio:
[m+q=0,-n+q=0,p+q=0].Scegliendo q=-1 si ha :
x-y+z=1
La circonferenza sara' allora rappresentata dal sistema:
$((x-y+z=1),(x^2+y^2+z^2-x+y-z=0))$
o piu' semplicemente:
$((x-y+z=1),(x^2+y^2+z^2=1))$
La seconda equazione e' la sfera di centro L(0,0,0) e raggio R=1.
Da L conduciamo la retta ,normale al piano, di equazione:
$x/1=y/(-1)=z/1$ da cui si ricava [x=z,y=-z] e sostituendo nell'equazione
del piano:
$z+z+z=1=>z=1/3$.Pertanto il centro della circonferenza e' il punto
$C'(1/3,-1/3,1/3)$ ed il raggio R' sara':
$R'=C'A=C'B=C'C=sqrt(4/9+1/9+1/9)=(sqrt6)/3$
Naturalmente in qualche punto della soluzione e' possibile usare
metodi vettoriali ma credo che cosi' sia piu' semplice.
E' da notare anche che la rappresentazione cartesiana della
circonferenza non e' univoca:al limite si potrebbero usare
anche cilindri o coni invece di sfere!
karl
La circonferenza in questione appartiene a tutte le infinite sfere che passano
per A,B,C. Tra di esse scegliamone una qualsiasi,per es. quella passante
ulteriormente per O(0,0,0) [giusto per facilitare i calcoli]
Ora l'equazione della generica sfera per O e':
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz=0$ ed imponendo il passaggio per A,B,C
ottengo il semplicissimo sistema:
[1+a=0,1-b=0,1+c=0] e dunque la sfera in questione e':
$x^2+y^2+z^2-x+y-z=0$
Il piano passante anch'esso per A,B,C si ottiene in modo analogo.
Il piano generico e':
mx+ny+pz+q=0 ed imponendo il passaggio:
[m+q=0,-n+q=0,p+q=0].Scegliendo q=-1 si ha :
x-y+z=1
La circonferenza sara' allora rappresentata dal sistema:
$((x-y+z=1),(x^2+y^2+z^2-x+y-z=0))$
o piu' semplicemente:
$((x-y+z=1),(x^2+y^2+z^2=1))$
La seconda equazione e' la sfera di centro L(0,0,0) e raggio R=1.
Da L conduciamo la retta ,normale al piano, di equazione:
$x/1=y/(-1)=z/1$ da cui si ricava [x=z,y=-z] e sostituendo nell'equazione
del piano:
$z+z+z=1=>z=1/3$.Pertanto il centro della circonferenza e' il punto
$C'(1/3,-1/3,1/3)$ ed il raggio R' sara':
$R'=C'A=C'B=C'C=sqrt(4/9+1/9+1/9)=(sqrt6)/3$
Naturalmente in qualche punto della soluzione e' possibile usare
metodi vettoriali ma credo che cosi' sia piu' semplice.
E' da notare anche che la rappresentazione cartesiana della
circonferenza non e' univoca:al limite si potrebbero usare
anche cilindri o coni invece di sfere!
karl
ragazzi grazie mille davvero, ho capito perfettamente.. ho letto anch'io da qualche parte che una circonferenza nello spazio si può rappresentare solo come intersezione tra 2 sfere o tra una sfera ed un piano.
Ps per quel sistema invece, per risolverlo devo ridurre a gradini? perchè poi mi da un risultato assurdo
Ps per quel sistema invece, per risolverlo devo ridurre a gradini? perchè poi mi da un risultato assurdo
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