Geo. Diff. - Sull'intersezione di curve
E' da un momento che sbatto la testa su questo esercizio che mi sembra facile, ma non riesco a capire come cavolo trovare il punto di intersezione tra due curve.
Esercizio. Show that \[\begin{matrix}\mathbf{x}(u,v)=(u \sin (\alpha) \cos (v), u \sin (\alpha) \sin (v), u \cos (\alpha)) \\ 0 < u < \infty, \quad 0 < v < 2\pi, \quad \alpha=\text{const.} \end{matrix} \]
is a parametrization of the cone with \(2 \alpha\) as the angle of the vertex ( - questa parte è facile: basta prendere la retta con l'angolo dato e trovare l'equazione della superficie di rotazione da essa generata). In the corresponding coordinate neighborhood, prove that the curve \[\mathbf{x}(c \cdot \exp(v \sin (\alpha) \cot (\beta)), v), \quad c= \text{const.}, \quad \beta=\text{const.} \]intersects the generators of the cone (\(v=\text{const.}\)) under the constant angle \(\beta\).
Le generatrici del cono sono rette, ed il loro vettore tangente è costante, ma anche facendo un esempio numerico per chiarire le idee, non mi riesce di trovare il punto di intersezione tra quelle curve e quelle rette per poi fare il prodotto scalare (che comunque mi sembra un conto delirante).
Cos'è che non vedo? C'è qualche scorciatoia?
Ringrazio.
Esercizio. Show that \[\begin{matrix}\mathbf{x}(u,v)=(u \sin (\alpha) \cos (v), u \sin (\alpha) \sin (v), u \cos (\alpha)) \\ 0 < u < \infty, \quad 0 < v < 2\pi, \quad \alpha=\text{const.} \end{matrix} \]
is a parametrization of the cone with \(2 \alpha\) as the angle of the vertex ( - questa parte è facile: basta prendere la retta con l'angolo dato e trovare l'equazione della superficie di rotazione da essa generata). In the corresponding coordinate neighborhood, prove that the curve \[\mathbf{x}(c \cdot \exp(v \sin (\alpha) \cot (\beta)), v), \quad c= \text{const.}, \quad \beta=\text{const.} \]intersects the generators of the cone (\(v=\text{const.}\)) under the constant angle \(\beta\).
Le generatrici del cono sono rette, ed il loro vettore tangente è costante, ma anche facendo un esempio numerico per chiarire le idee, non mi riesce di trovare il punto di intersezione tra quelle curve e quelle rette per poi fare il prodotto scalare (che comunque mi sembra un conto delirante).
Cos'è che non vedo? C'è qualche scorciatoia?
Ringrazio.
Risposte
Sai come si calcolano gli angoli tra le curve?
Sì, ma mi serve il punto di intersezione. O no?
Ti serve veramente?
Trovati $(x_u, x_v)$ base dello spazio tangente e quindi i vettori tangenti delle due curve. A quel punto calcola l'angolo generico e vedi che è indipendente dal punto
Trovati $(x_u, x_v)$ base dello spazio tangente e quindi i vettori tangenti delle due curve. A quel punto calcola l'angolo generico e vedi che è indipendente dal punto
Quindi tu mi stai dicendo: trova i vettori che generano lo spazio tangente, scrivi le coordinate dei vettori tangenti alle curve nella base dello sp. tangente e poi usa la prima forma fondamentale per trovare il coseno dell'angolo?
Ma la derivata della curva data viene una schifezza...
Ma la derivata della curva data viene una schifezza...
Bravissimo, esattamente quello che pensavo! La prima forma è lo strumento migliore; fossi in te, invece di trovare che quella curva funziona, cercati la curva che risolve quanto richiesto e poi mostra che è proprio quella data dall'esercizio.
Grazie mille! Per completezza scrivo per bene qualche passaggio, così poi mi dici cosa ne pensi:
Per iniziare si hanno i generatori (ortogonali) del generico piano tangente al cono \[\begin{matrix} \mathbf{x}_u = (\sin (\alpha) \cos (v), \sin (\alpha) \sin (v) , \cos (\alpha)) \\ \mathbf{x}_v = (- u \sin (\alpha) \sin (v), u \sin (\alpha) \cos (v), 0) \end{matrix} \]
da cui si ottiene facilmente la prima forma fondamentale, che è \[\mathbf{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u^2 \sin^2 (\alpha) \end{pmatrix} \]
Sperando di non aver sbagliato i conti, le coordinate nella base \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v \}\) dei vettori tangenti rispettivamente alle curve coordinate ed alla curva assegnata sono (ho messo dei puntini all'esponente per una questione estetica/di spazio) \[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad \begin{pmatrix}c \cdot e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha) \\ \frac{c}{u} e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha) \end{pmatrix}\]
Infine si ha che \[\cos = \frac{c \cdot e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha)}{c \cdot e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha) \sqrt{1 - \sin^2 (\alpha)}} = \frac{1}{\cos(\alpha)} \]che in effetti è costante.
Edit. Corretto un typo.
Per iniziare si hanno i generatori (ortogonali) del generico piano tangente al cono \[\begin{matrix} \mathbf{x}_u = (\sin (\alpha) \cos (v), \sin (\alpha) \sin (v) , \cos (\alpha)) \\ \mathbf{x}_v = (- u \sin (\alpha) \sin (v), u \sin (\alpha) \cos (v), 0) \end{matrix} \]
da cui si ottiene facilmente la prima forma fondamentale, che è \[\mathbf{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u^2 \sin^2 (\alpha) \end{pmatrix} \]
Sperando di non aver sbagliato i conti, le coordinate nella base \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v \}\) dei vettori tangenti rispettivamente alle curve coordinate ed alla curva assegnata sono (ho messo dei puntini all'esponente per una questione estetica/di spazio) \[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad \begin{pmatrix}c \cdot e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha) \\ \frac{c}{u} e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha) \end{pmatrix}\]
Infine si ha che \[\cos = \frac{c \cdot e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha)}{c \cdot e^{\dots} \cot (\beta) \sin (\alpha) \sqrt{1 - \sin^2 (\alpha)}} = \frac{1}{\cos(\alpha)} \]che in effetti è costante.
Edit. Corretto un typo.
Wow, bellissimo! Sei stato abbastanza coraggioso da aver risolto il problema di petto e hai trovato la soluzione "facilmente". Io da codardo avrei fatto il giro
Ora sappiamo quale è la lossodroma rispetto alle rette di un cono! Se ti chiedessi quella rispetto ai cerchi? Lo so son cattivo
P.S. Controlla l'ultimo passaggio, c'è un più nella radice
Ora sappiamo quale è la lossodroma rispetto alle rette di un cono! Se ti chiedessi quella rispetto ai cerchi? Lo so son cattivo
P.S. Controlla l'ultimo passaggio, c'è un più nella radice
Grazie mille per tutte le dritte! Mi ero fatto fregare, un po' ingenuamente, dalla questione dell'intersezione.
Ma ero quasi certo che il problema si risolvesse abbastanza facilmente, salvo alcuni contazzi.
Ma ero quasi certo che il problema si risolvesse abbastanza facilmente, salvo alcuni contazzi.
Ho avuto fortuna di aver appena fatto la prima forma Per quello mi è venuto in mente subito
Per quello mi è venuto in mente subito
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo