Generico endomorfismo $f$
Avrei da risolvere quest'esercizio di Algebra Lineare:
Determinare il generico endomorfismo di $f$ di $RR^3$ tale che:
1) $(1,1,0)$ sia autovettore associato all'autovalore 1;
2) $Kerf={(x,y,z) in RR^3 | x-y=y-z=0}$;
3) $Imf={(x,y,z) in RR^3 | x-y+z=0}$;
chi sarebbe così gentile da aiutare un pover allievo ingegnere?
Determinare il generico endomorfismo di $f$ di $RR^3$ tale che:
1) $(1,1,0)$ sia autovettore associato all'autovalore 1;
2) $Kerf={(x,y,z) in RR^3 | x-y=y-z=0}$;
3) $Imf={(x,y,z) in RR^3 | x-y+z=0}$;
chi sarebbe così gentile da aiutare un pover allievo ingegnere?
Risposte
Per determinare un endomorfismo f di $RR^3$ ti servono le immagini dei vettori di una base (3 vettori).
La prima condizione ti dice che $f(1,1,0)=(1,1,0)$
La seconda ti dice che $f(1,1,1)=0$ (perché dall'equazioni che indentificano il Ker, (1,1,1) genera il Ker)
Osservi che (1,1,0) e (1,1,1) sono due vettori linearmente indipendenti. Ci serve l'ultima condizione.
L'equazione della terza condizione scritta come x=y-z dice che l'immagine di f è generata da
(1,1,0) e (-1,0,1).
Visto che (1,1,0) già l'abbiamo trovato e sappiamo che proviene da (1,1,0) per la prima condizione, prendiamo l'altro.
Completiamo i primi due vettori trovati ad una base di $RR^3$ ad esempio consideriamo la base:
${(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0)}={v1,v2,v3}$
allora poniamo come prima f(v1)=v1, f(v2)=0 e infine f(v3)=(-1,0,1). In questo modo f è univocamente determinato e verifica le proprietà richieste.
Per ottenere il generico endomorfismo basta cambiare la scelta del terzo vettore della base che è l'unica libera. Puoi scrivere questa possibilità di scelta inserendo un parametro.
Supponiamo di essere al punto in cui abbiamo scelto il terzo vettore.
Io ho messo (1,0,0) ma ci sono infinite scelte possibili.
Chiamiamo v3=(a,b,c) il vettore che vogliamo scegliere.
Imponiamo che {v1,v2,v3} sia una base il che avviene se e solo se il determinante di $((1,1,a),(1,1,b),(0,1,c))$ è non nullo ossia se $a!=b$.
Imponiamo come prima f(v1)=v1, f(v2)=0, f(v3)=(-1,0,1).
I parametri sono <> nella scrittura "v3". Se scriviamo la matrice di questa f rispetto ad esempio alla base canonica otterremo una matrice che dipende dai parametri a,b,c e che rappresenta nella suddetta base tutti gli endomorfismi f come richiesto.
La prima condizione ti dice che $f(1,1,0)=(1,1,0)$
La seconda ti dice che $f(1,1,1)=0$ (perché dall'equazioni che indentificano il Ker, (1,1,1) genera il Ker)
Osservi che (1,1,0) e (1,1,1) sono due vettori linearmente indipendenti. Ci serve l'ultima condizione.
L'equazione della terza condizione scritta come x=y-z dice che l'immagine di f è generata da
(1,1,0) e (-1,0,1).
Visto che (1,1,0) già l'abbiamo trovato e sappiamo che proviene da (1,1,0) per la prima condizione, prendiamo l'altro.
Completiamo i primi due vettori trovati ad una base di $RR^3$ ad esempio consideriamo la base:
${(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0)}={v1,v2,v3}$
allora poniamo come prima f(v1)=v1, f(v2)=0 e infine f(v3)=(-1,0,1). In questo modo f è univocamente determinato e verifica le proprietà richieste.
Per ottenere il generico endomorfismo basta cambiare la scelta del terzo vettore della base che è l'unica libera. Puoi scrivere questa possibilità di scelta inserendo un parametro.
Supponiamo di essere al punto in cui abbiamo scelto il terzo vettore.
Io ho messo (1,0,0) ma ci sono infinite scelte possibili.
Chiamiamo v3=(a,b,c) il vettore che vogliamo scegliere.
Imponiamo che {v1,v2,v3} sia una base il che avviene se e solo se il determinante di $((1,1,a),(1,1,b),(0,1,c))$ è non nullo ossia se $a!=b$.
Imponiamo come prima f(v1)=v1, f(v2)=0, f(v3)=(-1,0,1).
I parametri sono <
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