Generico endomorfismo
sono ancora qui,
ho quest'esercizio d'esame,
Sia $g:R^3 -> R^3$ il generico endomorfismo tale che:
$g(1,1,0) = (2,2,0)$
$g(0,1,0) = (0,0,0)$
$g$ ha un autospazio di dimensione 2
determinare g.
io ho ragionato così
il vettore che completa la base è $(0,0,1)$, e deve appartenere o all'autospazio relativo all'autovalore 2 oppure a quello relativo all'autovalore 0
quindi ho 2 casi:
$f(0,0,1) = (0,0,0)$
oppure:
$f(0,0,1) = (0,0,2)$
quindi il generico vettore immagine è $(0,0,a)$
che ne pensate?
grazie
ho quest'esercizio d'esame,
Sia $g:R^3 -> R^3$ il generico endomorfismo tale che:
$g(1,1,0) = (2,2,0)$
$g(0,1,0) = (0,0,0)$
$g$ ha un autospazio di dimensione 2
determinare g.
io ho ragionato così
il vettore che completa la base è $(0,0,1)$, e deve appartenere o all'autospazio relativo all'autovalore 2 oppure a quello relativo all'autovalore 0
quindi ho 2 casi:
$f(0,0,1) = (0,0,0)$
oppure:
$f(0,0,1) = (0,0,2)$
quindi il generico vettore immagine è $(0,0,a)$
che ne pensate?
grazie
Risposte
Esempio $ G=( ( 2 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , -4 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
grazie,
ho capito che sbaglio scegliendo come base $(0,0,1)$
ho provato a ragionare diversamente
prendo un generico vettore $(a,b,c)$ come immagine di un qualsiasi vettore che completa la base
e ottengo la matrice $((2,0,a),(2,0,b),(0,0,c))$
calcolo il polinomi caratteristico e ottengo che per esserci un autospazio di dimensione 2 devo avere $c = 0$ oppure $c = 2$
quindi g può essere così
$((2,0,a),(2,0,b),(0,0,0))$
oppure così
$((2,0,a),(2,0,b),(0,0,2))$
corretto?
ho capito che sbaglio scegliendo come base $(0,0,1)$
ho provato a ragionare diversamente
prendo un generico vettore $(a,b,c)$ come immagine di un qualsiasi vettore che completa la base
e ottengo la matrice $((2,0,a),(2,0,b),(0,0,c))$
calcolo il polinomi caratteristico e ottengo che per esserci un autospazio di dimensione 2 devo avere $c = 0$ oppure $c = 2$
quindi g può essere così
$((2,0,a),(2,0,b),(0,0,0))$
oppure così
$((2,0,a),(2,0,b),(0,0,2))$
corretto?
Sei sulla giusta strada. Per c=2 però a dev'essere uguale a zero e b qualsiasi cosa tu voglia.
Altrimenti il sottospazio legato all'autovalore 2 avrà dimensione 1 e non 2.
Altrimenti il sottospazio legato all'autovalore 2 avrà dimensione 1 e non 2.
ho capito perfettamente
colgo l'occasione per una piccolezza
l'ordine delle colonne influisce sulla determinazione dell'endomorfismo?
cioè
questa matrice:
$((2,0,0),(2,0,b),(0,0,2))$
identifica un endomorfismo differente da questa?
$((0,2,0),(0,2,b),(0,0,2))$
chiedo perchè ho svolto un esercizio e dopo aver finito ho visto che nella soluzione le colonne erano state disposte in maniera differente
grazie
colgo l'occasione per una piccolezza
l'ordine delle colonne influisce sulla determinazione dell'endomorfismo?
cioè
questa matrice:
$((2,0,0),(2,0,b),(0,0,2))$
identifica un endomorfismo differente da questa?
$((0,2,0),(0,2,b),(0,0,2))$
chiedo perchè ho svolto un esercizio e dopo aver finito ho visto che nella soluzione le colonne erano state disposte in maniera differente
grazie
"giovx24":
l'ordine delle colonne influisce sulla determinazione dell'endomorfismo?
No, non influisce
"giovx24":
l'ordine delle colonne influisce sulla determinazione dell'endomorfismo?
La colonna di una matrice rappresentativa $M_(BB)(f)$ di un endomorfismo $f$ continue le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalB$ rispetto alla medesima base; per cui se consideri la base di autovettori ${((1),(1),(0)), ((0),(1),(0)), ((?),(?),(?))}$ avrai
$ ((2,0,?),(2,0,?),(0,0,?)) $
mentre se consideri la base ${((0),(1),(0)), ((1),(1),(0)),((?),(?),(?))}$, otterrai
$ ((0,2,?),(0,2,?),(0,0,?)) $
In sostanza ci deve essere coerenza tra le colonne e la base dei vettori: infatti, essendo la base è un insieme ordinato di vettori (in questo caso autovettori), si ha che:
${a,b,c} ne {b,a,c}$
"Magma":
[quote="giovx24"]l'ordine delle colonne influisce sulla determinazione dell'endomorfismo?
La colonna di una matrice rappresentativa $M_(BB)(f)$ di un endomorfismo $f$ continue le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalB$ rispetto alla medesima base; per cui se consideri la base di autovettori ${((1),(1),(0)), ((0),(1),(0)), ((?),(?),(?))}$ avrai
$ ((2,0,?),(2,0,?),(0,0,?)) $
mentre se consideri la base ${((0),(1),(0)), ((1),(1),(0)),((?),(?),(?))}$, otterrai
$ ((0,2,?),(0,2,?),(0,0,?)) $
In sostanza ci deve essere coerenza tra le colonne e la base dei vettori: infatti, essendo la base è un insieme ordinato di vettori (in questo caso autovettori), si ha che:
${a,b,c} ne {b,a,c}$
[/quote]grazie
che intendi per insieme ordinato?
quindi in genere se un esercizio mi chiede di rappresentare la matrice di un'applicazione metto le colonne nello stesso ordine in cui mi fornisce le immagini dei vettori della base?
ieri avevo un endomorfismo definito dall'immagine di 3 vettori di $R^3$, ho calcolato l'immagine dei vettori della base canonica
e poi ho posizionato l'immagine di $e3$ nella seconda colonna e l'immagine di $e2$ nella terza
disastro? esercizio totalmente errato?
"giovx24":
che intendi per insieme ordinato?
Semplicemente quello che ho detto prima: ${a,b}={a,b}$ ma ${a,b}ne{b,a}$. Cioè due insiemi ordinati per essere uguali devono contenere gli stessi elementi nello stesso ordine; ordini diversi daranno insiemi differenti.
"giovx24":
quindi in genere se un esercizio mi chiede di rappresentare la matrice di un'applicazione metto le colonne nello stesso ordine in cui mi fornisce le immagini dei vettori della base?
$M_(A A)(f)$ è un'applicazione lineare che prende l'i-esimo vettore della base $mathcalA={a_1,...,a_n}$, ne calcola l'immagine e la scrive come C.L. della medesima base e ne dispone le componenti nella i-esima colonna:
$RR^n->RR^n$
$a_i|->M_(A A)(f):=( [f(a_i)]_A ), qquad i=1,...,n$
$a_i|->M_(A A)(f):=( [f(a_i)]_A ), qquad i=1,...,n$
Ipotizzando per semplicità che $f$ sia un endomorfismo di $RR^3$ e che $mathcalB={a,b,c}$ sia una base di autovettori relativi, rispettivamente, agli autovalori $alpha, beta, gamma$, si avrà:
$f(bara)=alpha bara$
le cui componenti rispetto a $mathcalB$ saranno
$ [f(bara)]_A=[alpha bara]_A=((alpha),(0),(0))$
analogamente si otterranno le colonne rimanente:
$M_(A A)(f)=((alpha, 0,0),(0,beta,0),(0,0,gamma))$
Per cui è evidente che, considerando $mathcalC={b,a,c}$, si otterrà un'altra matrice diagonale.
"giovx24":
ieri avevo un endomorfismo definito dall'immagine di 3 vettori di $R^3$, ho calcolato l'immagine dei vettori della base canonica
e poi ho posizionato l'immagine di $e3$ nella seconda colonna e l'immagine di $e2$ nella terza
disastro? esercizio totalmente errato?
Il mio ex-professore di Geometria e Algebra Lineare (12 CFU) ti avrebbe bocciato.
"giovx24":
ieri avevo un endomorfismo definito dall'immagine di 3 vettori di $R^3$, ho calcolato l'immagine dei vettori della base canonica
e poi ho posizionato l'immagine di $e3$ nella seconda colonna e l'immagine di $e2$ nella terza
disastro? esercizio totalmente errato?
A meno che non vi siano vincoli precisi, scegli tu dove piazzarli e l'ordine e una soluzione vale l'altra.
La trasformazione che soddisfa i vincoli è corretta. Punto
"Bokonon":
[quote="giovx24"]
ieri avevo un endomorfismo definito dall'immagine di 3 vettori di $R^3$, ho calcolato l'immagine dei vettori della base canonica
e poi ho posizionato l'immagine di $e3$ nella seconda colonna e l'immagine di $e2$ nella terza
disastro? esercizio totalmente errato?
A meno che non vi siano vincoli precisi, scegli tu dove piazzarli e l'ordine e una soluzione vale l'altra.
[/quote]
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
L'ordinamento della base non le sembra un vincolo sufficiente? Bocciato anche lei 
"Bokonon":
La trasformazione che soddisfa i vincoli è corretta. Punto
Non ho messo in dubbio l'esattezza della trasformazione, ma la mancata coerenza tra la base scelta e la matrice rappresentativa!
Ha ragione Magma.
$f: RR^3 \rarr RR^3, \quad f(x,y,z)=(x,y,z)$.
La matrice associata rispetto alla base naturale è ovviamente $I_{n}$. Infatti dato un vettore $\vec{v}=(x,y,z) \in RR^3$ vale $I_{n} \vec{v} =\vec{v}$. Se invece scambi l'immagine di $e_2$ con quella di $e_3$ questo è evidente che non è più vero
$f: RR^3 \rarr RR^3, \quad f(x,y,z)=(x,y,z)$.
La matrice associata rispetto alla base naturale è ovviamente $I_{n}$. Infatti dato un vettore $\vec{v}=(x,y,z) \in RR^3$ vale $I_{n} \vec{v} =\vec{v}$. Se invece scambi l'immagine di $e_2$ con quella di $e_3$ questo è evidente che non è più vero
"Magma":
La domanda era questa:
"giovx24":
questa matrice:
$((2,0,0),(2,0,b),(0,0,2))$
identifica un endomorfismo differente da questa?
$((0,2,0),(0,2,b),(0,0,2))$
La risposta è che producono la medesima trasformazione.
Poi arrivi tu per parlare della scomposizione della trasformazione...che non compare nemmeno nella domanda e incasini l'acqua calda.
Se non comprendi la differenza fra una trasformazione e le mille scomposizioni che ne puoi fare, cosa posso farci io?
"feddy":
Ha ragione Magma.
$f: RR^3 \rarr RR^3, \quad f(x,y,z)=(x,y,z)$.
La matrice associata rispetto alla base naturale è ovviamente $I_{n}$. Infatti dato un vettore $\vec{v}=(x,y,z) \in RR^3$ vale $I_{n} \vec{v} =\vec{v}$. Se invece scambi l'immagine di $e_2$ con quella di $e_3$ questo è evidente che non è più vero
Ok dimostrami che l'immagine di $((2,0,0),(2,0,b),(0,0,2))$ e diversa da quella di $((0,2,0),(0,2,b),(0,0,2))$
Una domanda simile da parte dell'OP identifica una chiara mancata conoscenza della teoria, io l'ho approfondita per far comprendere al meglio la questione; lei invece confonde le acque e fa perdere tempo.
P.S. @feddy: attento che ti denuncia alla polizia postale
P.S. @feddy: attento che ti denuncia alla polizia postale
@Bokonon, non si parlava che l'immagine fosse uguale, ma di matrice rappresentativa
"feddy":
@Bokonon, non si parlava che l'immagine fosse uguale, ma di matrice rappresentativa
No, rileggi la domanda. Tutti gli infiniti possibili cambi di base che ti sono passati per la testa non cambiano la sostanza della domanda.
Oppure per te dire endomorfismo significa parlare di matrici simili?
Giuro che non vi capisco. La domanda era chiarissima e la risposta semplicissima.
La domanda era questa:
Ad ogni modo, credo che non abbia senso andare avanti. L' OP può trovare risposta in un qualsiasi libro di teoria
"giovx24":
quindi in genere se un esercizio mi chiede di rappresentare la matrice di un'applicazione metto le colonne nello stesso ordine in cui mi fornisce le immagini dei vettori della base?
Ad ogni modo, credo che non abbia senso andare avanti. L' OP può trovare risposta in un qualsiasi libro di teoria
"feddy":
La domanda era questa: [quote="giovx24"]quindi in genere se un esercizio mi chiede di rappresentare la matrice di un'applicazione metto le colonne nello stesso ordine in cui mi fornisce le immagini dei vettori della base?
[/quote]
Guarda che siamo in un thread Feddy. Questa è la domanda a cui abbiamo risposto sia io che magma:
viewtopic.php?f=37&t=190136#p8360394
Ma dire sempliocemente "ok non avevo letto bene" è così tragico?
@Bokonon: Le vorrei far notare che io ho ipotizzato che l'OP non avesse chiaro alcuni concetti teorici (ipotesi dimostrata valida da una seguente domanda mossa dall'OP) per cui ho aggiunto alcune cose in più.
La questione doveva finire là. Invece lei ha dato un giudizio personale, tra l'altro sbagliato, aprendo una polemica inutile (come al solito).
La questione doveva finire là. Invece lei ha dato un giudizio personale, tra l'altro sbagliato, aprendo una polemica inutile (come al solito).
perchè litigate? 
un po' di allegria
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