Genere di una curva algebrica
Salve a tutti, sto incontrando dei problemi molto semplici per quanto riguarda questo argomento.
Una definizione: Si definisce genere di una curva algebrica $C^n$ il numero $((n-1)(n-2))/2-delta-k$ ove $δ=#$punti doppi ordinari, e $K=#$punti cuspidali di prima specie o equivalenti.
Non c'è molto da capire.
Ora stavo studiando questa $C^4: x^2(y+1)^2-2x(y+1)+y^2=0$ ed ottengo che gli unici punti doppi isolati (quindi ordinari) sono $X_infty$ e $Y_infty$, quindi il genere dovrebbe essere 1, tuttavia maple mi conferma che il genere + essere 0. Allora ho non ho capito la formula, oppure c'è qualche doppio ordinario che mi sfugge (ma ho ricontrollato i calcoli più e più volte!).
C'è qualcuno che mi darebbe una mano a scoprire l'arcano?
Una definizione: Si definisce genere di una curva algebrica $C^n$ il numero $((n-1)(n-2))/2-delta-k$ ove $δ=#$punti doppi ordinari, e $K=#$punti cuspidali di prima specie o equivalenti.
Non c'è molto da capire.
Ora stavo studiando questa $C^4: x^2(y+1)^2-2x(y+1)+y^2=0$ ed ottengo che gli unici punti doppi isolati (quindi ordinari) sono $X_infty$ e $Y_infty$, quindi il genere dovrebbe essere 1, tuttavia maple mi conferma che il genere + essere 0. Allora ho non ho capito la formula, oppure c'è qualche doppio ordinario che mi sfugge (ma ho ricontrollato i calcoli più e più volte!).
C'è qualcuno che mi darebbe una mano a scoprire l'arcano?
Risposte
Studiando un pò i risultati di Maple, emerge che $X_infty$ dovrebbe avere $delta$ uguale a $2$, ma non riesco a capire il perchè.
Capita solamente con i doppi isolati; alle volte il $delta$-invariante vale 2, alle altre vale 1... ho provato a cercare in rete il perchè di questa differenza ma non riesco a venirne a capo.
Mi sto autorispondendo postando delle mie impressione, casomai passasse qualcuno più esperto a cui si accende la lampadina.
I punto doppi che nel calcolo del $delta$-invariante vengono contati doppio, hanno la conica $C_p$ (ovvero la conica data dai valore che assume il punto nelle derivate parziali del tipo $x^2+xz+z^2=0$ in coordinate proiettive. Analogamente se si sostituisce $x$ con $y$... che sia una caso?
I punto doppi che nel calcolo del $delta$-invariante vengono contati doppio, hanno la conica $C_p$ (ovvero la conica data dai valore che assume il punto nelle derivate parziali del tipo $x^2+xz+z^2=0$ in coordinate proiettive. Analogamente se si sostituisce $x$ con $y$... che sia una caso?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo