Generatori e basi

[giulia5395]

Piccolo quesito: dati 4 vettori la domanda è determinare se essi generano R4. Se vedo che questi sono linearmente dipendenti ( in quanto 3 sono linearmente indipendenti e il rimanente è combinazione lineare dei precedenti ) posso affermare che essi non generano R4 o solo che non sono una base?

[Sk_Anonymous]

Per generare $RR^4$ hai bisogno di almeno quattro vettori linearmente indipendenti. Se solo tre dei tuoi vettori sono linearmente indipendenti (mentre il quarto è una combinazione), allora non hai un insieme di generatori di $RR^4$, e quindi nemmeno una base di $RR^4$

[Gold D Roger]

Per il lemma di eliminazione e per il teorema dell'esistenza delle basi puoi scartare tutti i vettori linearmente dipendenti dell'insieme dato, resteranno quindi solo quelli linearmente indipendenti che dunque sono una base di $ mathbb(R^4) $ e che, per definizione di base, generano $ mathbb(R^4) $.

[Sk_Anonymous]

"Gold D Roger":Per il lemma di eliminazione e per il teorema dell'esistenza delle basi puoi scartare tutti i vettori linearmente dipendenti dell'insieme dato, resteranno quindi solo quelli linearmente indipendenti che dunque sono una base di $ mathbb(R^4) $ e che, per definizione di base, generano $ mathbb(R^4) $.

I vettori linearmente indipendenti in questo caso sono solo 3. Quindi non sono sufficienti a generare $RR^4$

[Gold D Roger]

"v3ct0r":[quote="Gold D Roger"]Per il lemma di eliminazione e per il teorema dell'esistenza delle basi puoi scartare tutti i vettori linearmente dipendenti dell'insieme dato, resteranno quindi solo quelli linearmente indipendenti che dunque sono una base di $ mathbb(R^4) $ e che, per definizione di base, generano $ mathbb(R^4) $.

I vettori linearmente indipendenti in questo caso sono solo 3. Quindi non sono sufficienti a generare $R^4$[/quote]
Mhmm... Si può sempre ampliare l'insieme dei vettori con un uno che sia linearmente indipendente e ottenere così un insieme di generatori: base trovata!

[Sk_Anonymous]

"Gold D Roger":Mhmm... Si può sempre ampliare l'insieme dei vettori con un uno che sia linearmente indipendente e ottenere così un insieme di generatori: base trovata!

L'esercizio chiedeva di utilizzare solo i vettori dati

[Gold D Roger]

"v3ct0r":[quote="Gold D Roger"]Mhmm... Si può sempre ampliare l'insieme dei vettori con un uno che sia linearmente indipendente e ottenere così un insieme di generatori: base trovata!

L'esercizio chiedeva di utilizzare solo i vettori dati [/quote]
Sì, hai ragione tu in effetti.

Comunque sono stato abituato che bastasse far vedere che i vettori di un dato insieme siano linearmente indipendenti e automaticamente avrebbero costituito una base dello spazio dato. Probabilmente era una semplificazione in quanto "ingegneri" e non "matematici".
Ringrazio per la sottigliezza suggeritami!