Generatori, base e dimensione Sottospazio vettoriale

[Ali_s]

Ciao a tutti,
devo risolvere un esercizio, di cui riporto il testo:
Trova
- un insieme di generatori
- una base
- la dimensione
di \(\displaystyle W={(x,y,z) ∈ R^3 : 2x-3z=0} \subseteq R^3 \)

Allora io intanto ho riscritto x in funzione di z, ottenendo \(\displaystyle x=3/2z \)
Dopodichè ho riscritto il vettore \(\displaystyle (x,y,z) \) come \(\displaystyle (3/2z,y,z) \) per poi riscrivere quest'ultimo come combinazione lineare di: \(\displaystyle y(0,1,0)+z(3/2,0,1) \)

Da qui risalgo a \(\displaystyle dim(W)=2 \)
Ma sono bloccata sull'insieme di generatori e sulla base.
Come possono due vettori di dimensione 3 essere generatori o basi di un sottospazio di dimensione 2?
Vi ringrazio..

[Camillo]

I due vettori che hai trovato cioè : $( 0,1,0) ,( 3/2,0,1) $ sono una base del sottospazio $W $ di $RR^3 $ , e come dici la dimensione di $W$ è 2 ; infatti hai tre variabili $x,y,z $ legate da una relazione e pertanto $ Dim W = 3-1 =2$.
I due vettiori che hai trovato come base sono vettori nello spazio a tre dimensioni cioè appartengono a $RR^3 $.
Se le loro combinazioni danno luogo a uno spazio di dimensione 2 allora vuol dire che producono un piano( che ha dimensione 2 ) di equazione appunto $2x-3z=0$ .
Naturalmente le basi che generano quel sottospazio $W $ sono infinite ad es. mi piace di più considerare come base questi due vettori $ ( 0,1,0),( 3,0,2) $ ok ti torna ? ma anche $ (0,123,0),( 45,0,30 )$ e infiniti altri...
Le basi di uno spazio sono tali che generano tutto lo spazio col numero minimo di vettori ( che ovviamnete sono linearmente indipendenti) , pari alla dimensione dello spazio, in questo caso 2 appunto.

Generatori : se aggiungo ai vettori della base uno o più vettori che siano combinazione lineare dei vettori della base ottengo un insieme di generatori . Esempio aggiungo questo vettore $alpha( 0,1,0)+beta( 3,0,2) $ ; se $alpha = 5 ; beta=2 $ ottengo il vettore$ (6,5,4 )$ e quindi un insieme di generatori è dato da $( 0,1,0),( 3,0,2),(6,5,4)$.