Generatori
Buongiorno, avrei un dubbio da risolvere:
considero $ R^3 $ e tre vettori $ v_1, v_2, v_3 $; devo verificare che sono una base di $ R^3 $.
In base a cosa mi basta verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti, per poi poter dire che sono necessariamente generatori essendo vettori di $ R^3 $ ?
Non capisco che relazione ci sia tra l'essere linearmente indipendenti e l'essere generatori.
Se prendo tre vettori linearmente indipendenti, in uno spazio di dimensione 3, ho che questi formano necessariamente una base?
Grazie!!
considero $ R^3 $ e tre vettori $ v_1, v_2, v_3 $; devo verificare che sono una base di $ R^3 $.
In base a cosa mi basta verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti, per poi poter dire che sono necessariamente generatori essendo vettori di $ R^3 $ ?
Non capisco che relazione ci sia tra l'essere linearmente indipendenti e l'essere generatori.
Se prendo tre vettori linearmente indipendenti, in uno spazio di dimensione 3, ho che questi formano necessariamente una base?
Grazie!!
Risposte
Un insieme di vettori sono sempre generatori di "qualcosa" nello spazio di riferimento.
Se, nel caso in oggetto, tre vettori di $RR^3$ (generatori di qualcosa) sono pure indipendenti, allora sono una BASE di $RR^3$.
Supponiamo invece che solo due siano lin. indip., allora sono una base per un sottospazio di $RR^3$ (nella fattispecie, un piano).
Se, nel caso in oggetto, tre vettori di $RR^3$ (generatori di qualcosa) sono pure indipendenti, allora sono una BASE di $RR^3$.
Supponiamo invece che solo due siano lin. indip., allora sono una base per un sottospazio di $RR^3$ (nella fattispecie, un piano).
"sofisofi":In base al fatto che \(n\) vettori linearmente indipendenti di uno spazio di dimensione \(n\) generano sempre lo spazio (fai che no: potresti trovare un vettore \(v\) che non è combinazione lineare dei tuoi \(n\) vettori, e quindi formare un nuovo insieme di \(n+1\) vettori linearmente indipendenti. Questo è assurdo, perché... è lungo e te lo spiego domani).
In base a cosa mi basta verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti, per poi poter dire che sono necessariamente generatori essendo vettori di $ R^3 $ ?
“Che relazione c’è tra generatori e insiemi di vettori linearmente indipendenti?” Una base (=insieme di generatori linearmente indipendenti) è un insieme massimale (se non sai cosa vuol dire, google) di vettori linearmente indipendenti; o un insieme minimale di generatori. Dimostra questi fatti e ti sarà un po’ più chiaro.
Ora mi è tutto chiaro, grazie mille ad entrambi per la spiegazione!!
Se la dimensione è $ n $ ,e hai $ n $ vettori linearmente indipendenti, hai una base di quello spazio.
Quei vettori della base sono anche un sistema di generatori (massimale)
Vettori linearmente indipendenti,vuol dire che l'unica combinazione lineare che da il vettore nullo, ha tutti i coefficienti nulli
Mettili come righe o come colonne di una matrice e calcola il determinante.
Se è nullo non sono linearmente indipendenti
Quei vettori della base sono anche un sistema di generatori (massimale)
Vettori linearmente indipendenti,vuol dire che l'unica combinazione lineare che da il vettore nullo, ha tutti i coefficienti nulli
Mettili come righe o come colonne di una matrice e calcola il determinante.
Se è nullo non sono linearmente indipendenti
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