$\Gamma(2)$ nel gruppo modulare
Consideriamo il sottogrouppo di congruenza $\Gamma(2)$ del gruppo modulare $SL_2(\ZZ)$ dato da
\[ \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \equiv \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) mod \ 2 \right\}.\]
In sostanza sono le matrici a coefficienti interi e determinante $1$ con $a,d$ dispari e $b,c$ pari (e si vede che sono un gruppo con il prodotto).
Questo gruppo agisce sul semipiano superiore complesso $H^+$ come gruppo di trasformazioni di Moebius (l'azione ha un nucleo, perché $-I$ induce la stessa trasformazione di $I$, ma poco importa) attraverso
\[ f: z \mapsto \frac{az + b}{cz +d} .\]
Vorrei dimostrare che un insieme fondamentale dell'azione è dato dal seguente insieme (o meglio, questo insieme, con un po' di attenzione a come vengono presi i bordi)
\[ \{ z \in \mathbb{C} : | Re (z) | \le 1 , Im(z) \ge 0 , | z - 1/2 | \ge 1/2, |z + 1/2 | \ge 1/2 \}; \]
in pratica questo insieme è dato dai punti della striscia del semipiano superiore delimitata dalle rette verticali $x=1$ e $x=-1$ che si trovano fuori dai due semicerchi di raggio $1/2$ e centro $-1/2$ e $1/2$. (Se non è chiaro, si riescono a trovare diverse figure in rete).
Io credo di averlo dimostrato, eccetto che per qualche dettaglio che dovrei riuscire a sistemare, facendo una marea di conti.
Il mio argomento si basa sostanzialmente su questi due fatti. Prima di tutto, è chiaro che attraverso traslazioni orizzontali di multipli di $2$ (quindi $ a=d=1, b=2,c=0$), posso limitarmi alla strisica completa (compresi dunque i due semidischi). Poi uso un'opportuna potenza della mappa definita da $a=d=1,b=0,c=2$ per far uscire i punti dai due semidischi. Notare che le due trasformazioni citate, ovvero la traslazione di $2$ passi e questa specie di inversione, formano un insieme di generatori, insieme a $-I$, del gruppo di convergenza; in sostanza qualunque mappa che si ottiene da quest'azione è indotta da un'opportuna composizione delle due matrici citate (in quanto $-I$ induce l'identità. Tuttavia, fatta così, questa parte è esageratamente contosa.
Vorrei sapere se siete a conoscenza di un modo un po' meno bovino (o comunque di un argomento che permetta di controllare solo dove vanno a finire certi punti o certe curve, sfruttando il fatto che queste mappe sono conformi e mandano rette/circonferenze in rette/circonferenze) per dimostrare che, dato un qualunque punto del semipiano superiore, esiste un punto che è nella sua orbita e che giace nella striscia (vista come chiuso, poi mi è chiaro come sistemare i bordi).
--- Questo messaggio penso che possa stare bene sia in analisi, sia in geometria, sia in algebra; ho scelto geometria perché credo che la soluzione debba sfruttare qualche argomento geometrico ---
\[ \left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \equiv \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) mod \ 2 \right\}.\]
In sostanza sono le matrici a coefficienti interi e determinante $1$ con $a,d$ dispari e $b,c$ pari (e si vede che sono un gruppo con il prodotto).
Questo gruppo agisce sul semipiano superiore complesso $H^+$ come gruppo di trasformazioni di Moebius (l'azione ha un nucleo, perché $-I$ induce la stessa trasformazione di $I$, ma poco importa) attraverso
\[ f: z \mapsto \frac{az + b}{cz +d} .\]
Vorrei dimostrare che un insieme fondamentale dell'azione è dato dal seguente insieme (o meglio, questo insieme, con un po' di attenzione a come vengono presi i bordi)
\[ \{ z \in \mathbb{C} : | Re (z) | \le 1 , Im(z) \ge 0 , | z - 1/2 | \ge 1/2, |z + 1/2 | \ge 1/2 \}; \]
in pratica questo insieme è dato dai punti della striscia del semipiano superiore delimitata dalle rette verticali $x=1$ e $x=-1$ che si trovano fuori dai due semicerchi di raggio $1/2$ e centro $-1/2$ e $1/2$. (Se non è chiaro, si riescono a trovare diverse figure in rete).
Io credo di averlo dimostrato, eccetto che per qualche dettaglio che dovrei riuscire a sistemare, facendo una marea di conti.
Il mio argomento si basa sostanzialmente su questi due fatti. Prima di tutto, è chiaro che attraverso traslazioni orizzontali di multipli di $2$ (quindi $ a=d=1, b=2,c=0$), posso limitarmi alla strisica completa (compresi dunque i due semidischi). Poi uso un'opportuna potenza della mappa definita da $a=d=1,b=0,c=2$ per far uscire i punti dai due semidischi. Notare che le due trasformazioni citate, ovvero la traslazione di $2$ passi e questa specie di inversione, formano un insieme di generatori, insieme a $-I$, del gruppo di convergenza; in sostanza qualunque mappa che si ottiene da quest'azione è indotta da un'opportuna composizione delle due matrici citate (in quanto $-I$ induce l'identità. Tuttavia, fatta così, questa parte è esageratamente contosa.
Vorrei sapere se siete a conoscenza di un modo un po' meno bovino (o comunque di un argomento che permetta di controllare solo dove vanno a finire certi punti o certe curve, sfruttando il fatto che queste mappe sono conformi e mandano rette/circonferenze in rette/circonferenze) per dimostrare che, dato un qualunque punto del semipiano superiore, esiste un punto che è nella sua orbita e che giace nella striscia (vista come chiuso, poi mi è chiaro come sistemare i bordi).
--- Questo messaggio penso che possa stare bene sia in analisi, sia in geometria, sia in algebra; ho scelto geometria perché credo che la soluzione debba sfruttare qualche argomento geometrico ---
Risposte
Credo di aver trovato una soluzione molto bellina su Complex Analysis di Ahlfors, capitolo 7 Teorema 8, pg. 281. In sostanza prima si manda $z$ usando una opportuna trasformazione di $SL_2(\ZZ)$ nel corrispondente dominio fondamentale (lo spazio dei moduli dei tori complessi) - dimostrare che quello è un dominio fondamentale è molto più facile.
Poi si considerano le possibili classi modulo $2$ di una matrice di $SL_2(\ZZ)$ e si fa vedere che opportuni rappresentati di quelle classi mandano il dominio fondamentale di $SL_2(\ZZ)$ in pezzetti del "presunto" dominio fondamentale di $\Gamma(2)$. Componendo le trasformazioni del modo giusto, si ottiene una trasformazione di $\Gamma(2)$ che manda $z$ da qualche parte nel suo dominio fondamentale.
In questo modo i conti si limitano alla dimostrazione che il bordo del dominio fondamentale di $SL_2(\ZZ)$ viene mandato in pezzetti del dominio fondamentale di $\Gamma(2)$ (ma per questo dovrebbe bastare prendere i tre vertici del "triangolo" di $SL(\ZZ)$ e far vedere dove vanno loro).
Poi si considerano le possibili classi modulo $2$ di una matrice di $SL_2(\ZZ)$ e si fa vedere che opportuni rappresentati di quelle classi mandano il dominio fondamentale di $SL_2(\ZZ)$ in pezzetti del "presunto" dominio fondamentale di $\Gamma(2)$. Componendo le trasformazioni del modo giusto, si ottiene una trasformazione di $\Gamma(2)$ che manda $z$ da qualche parte nel suo dominio fondamentale.
In questo modo i conti si limitano alla dimostrazione che il bordo del dominio fondamentale di $SL_2(\ZZ)$ viene mandato in pezzetti del dominio fondamentale di $\Gamma(2)$ (ma per questo dovrebbe bastare prendere i tre vertici del "triangolo" di $SL(\ZZ)$ e far vedere dove vanno loro).
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