F(u,v) = (u^3,v-u) è (quasi di sicuro) diffeomorfismo, ma...
Ho un dubbio su questo esempio (che come tale può propagarsi ad una classe di possibili casi).
Si tratta del fatto che \(\displaystyle f(u,v) = (u^3,v-u) \) sia un diffeomorfismo. Risulta che f è iniettiva, infatti:
\(\displaystyle f(u_1, v_1) = f(u_2,v_2) \rightarrow (u_1^3, v_1-u_1) = (u_2^3, v_2-u_2) \), da cui banalmente deve essere \(\displaystyle (u_1,v_1)=(u_2,v_2) \) .
Inoltre la matrice jacobiana ha determinante \(\displaystyle 3u^2+1 \), che non si annulla mai in campo reale. Dunque sono soddisfatte le ipotesi affinché si sia in presenza di un diffeomorfismo (cfr. qui).
Tuttavia, si può elementarmente provare che \(\displaystyle f^{-1}(u,v) = (u^{1/3}, v+u^{1/3}) \), e le due funzioni che la compongono non sono di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^{\infty} \), non essendo derivabili in \(\displaystyle u=0 \), nonostante abbia letto che l'infinita differenziabilità della funzione inversa sia un requisito necessario per il fatto che l'omeomorfismo in questione sia effettivamente un diffeomorfismo. Cosa si può dire?
Grazie in anticipo.
Si tratta del fatto che \(\displaystyle f(u,v) = (u^3,v-u) \) sia un diffeomorfismo. Risulta che f è iniettiva, infatti:
\(\displaystyle f(u_1, v_1) = f(u_2,v_2) \rightarrow (u_1^3, v_1-u_1) = (u_2^3, v_2-u_2) \), da cui banalmente deve essere \(\displaystyle (u_1,v_1)=(u_2,v_2) \) .
Inoltre la matrice jacobiana ha determinante \(\displaystyle 3u^2+1 \), che non si annulla mai in campo reale. Dunque sono soddisfatte le ipotesi affinché si sia in presenza di un diffeomorfismo (cfr. qui).
Tuttavia, si può elementarmente provare che \(\displaystyle f^{-1}(u,v) = (u^{1/3}, v+u^{1/3}) \), e le due funzioni che la compongono non sono di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^{\infty} \), non essendo derivabili in \(\displaystyle u=0 \), nonostante abbia letto che l'infinita differenziabilità della funzione inversa sia un requisito necessario per il fatto che l'omeomorfismo in questione sia effettivamente un diffeomorfismo. Cosa si può dire?
Grazie in anticipo.
Risposte
Hai sbagliato il determinante.
[tex]\left| \begin{matrix} 3u^2 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| = 3u^2[/tex]
che ha un problema sull'asse [tex]u = 0[/tex].
[tex]\left| \begin{matrix} 3u^2 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| = 3u^2[/tex]
che ha un problema sull'asse [tex]u = 0[/tex].
"maurer":
Hai sbagliato il determinante.
[tex]\left| \begin{matrix} 3u^2 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| = 3u^2[/tex]
che ha un problema sull'asse [tex]u = 0[/tex].
Ah ecco, grazie, effettivamente così quadra già meglio. Però mi stupisce che il Sernesi 2 a pagina 180 (esercizi del § 19, 9b per la precisione) lo proponga tra altri esempi per i quali chiede di "dimostrare che le seguenti applicazioni di R^2 in sé sono diffeomorfismi e determinarne le inverse" (con gli altri effettivamente tutto fila liscio).
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