Funzioni omotope

[studentessa CdLmate]

Ciao a tutti.. ho questo esercizio:

Mostra che se $f:X->S^2$ è un'applicazione continua ma non suriettiva,allora $f$ è omotopa ad una costante.

Sia$f_1:X->S^2$ un' applicazione continua tale che $f_1(x)=x_1$ per ogni $x in X$.

Potrei dimostrare che $f$ è omotopa alla funzione costante $f_1$ considerando l'omotopia $F:X x I->S^2$ con $F(x,t)=(1-t)f(x)+tx_1$. questa è un'omotopia poichè $S^2$ è convesso in $RR^3$.

Credo che il mio ragionamento sia giusto.. ma allora a che serve l'ipotesi che $f$ non è suriettiva??

Grazie mille!!

[maurer]

Aspetta un momento... da quando [tex]\mathcal S^2[/tex] è un convesso???? Tipo, tu mi stai dicendo che, visto che [tex](0,0,1),(0,0,-1) \in \mathcal S^2[/tex], allora tutti i punti nel segmento che li congiunge stanno su [tex]\mathcal S^2[/tex], in particolare il vettore [tex](0,0,0)[/tex] avrebbe norma 1!

Pensa più semplicemente... supponi che [tex]x_0 \in \mathcal S^2[/tex] non appartenga all'immagine di [tex]f[/tex]. Allora [tex]f[/tex] definisce una funzione [tex]f \colon X \to \mathcal S^2 \setminus \{x_0\}[/tex]. Ora, chi è [tex]\mathcal S^2 \setminus \{x_0\}[/tex]? Ossia, a chi è omeomorfo?

[studentessa CdLmate]

è vero.. quest'esame lo vedo brutto!!..

Allora $S^2-{x_0}$ è omeomorfo ad $RR^2$ tramite la proiezione stereografica.. e qui $RR^2$ è convesso quindi posso applicare il ragionamento iniziale

Grazie

[maurer]

Sì, o più semplicemente [tex]\mathcal S^2 \setminus \{x_0\}[/tex] è omeomorfo ad un disco chiuso, che è contrattile. In ogni caso se lo spazio di arrivo è contrattile, ogni applicazione è nulomotopa...