Funzioni omotope
Sia $f:X \to S^2$ una funzione continua non suriettiva. Allora f è omotopa ad un'applicazione costante. (X è un qualsiasi spazio topologico).
Perché?
Qualcuno ha un hint su come iniziare? Non vedo proprio la connessione fra le due cose
Perché?
Qualcuno ha un hint su come iniziare? Non vedo proprio la connessione fra le due cose
Risposte
Visto che $f$ non è suriettiva esiste un punto $p\in S^2$ tale che $p\notin f(X)$.
Secondo me, l'idea è che $S^2\setminus{p}$ è omeomorfo ad $RR^2$ (pensa alla proiezione stereografica per esempio) ed $RR^2$ è uno spazio "buono".
Prova a sviluppare questa idea. Secondo me, ne vieni fuori.
Secondo me, l'idea è che $S^2\setminus{p}$ è omeomorfo ad $RR^2$ (pensa alla proiezione stereografica per esempio) ed $RR^2$ è uno spazio "buono".
Prova a sviluppare questa idea. Secondo me, ne vieni fuori.
In che senso "buono"? Io so che $RR^2$ è contraibile, quindi ogni mappa verso $RR^2$ è omotopa a un'applicazione costante (o sbaglio?)
Esattamente in quel senso. Se "componi" (nel senso che ti crei un omotopia a partire da questi ingredienti) una qualsiasi mappa $H : RR^2 \times [0, 1] -> {x_0}$ con la proiezioni stereografica della sfera a partire da un punto $p$ non appartenente alla immagine di $f$ e con f, dovresti ottenere l'omotopia che cerchi da $f$ alla mappa costante.
Ok, grazie a entrambi. Del resto date due funzioni [tex]$f_1: X \to Y$[/tex], [tex]$f_2: X \to Y$[/tex] continue, data [tex]$g: Y \to Z$[/tex] invertibile e continua, le composizioni [tex]$gf_1$[/tex] e [tex]$gf_2$[/tex] sono omotope se e solo se [tex]$f_1$[/tex] e [tex]$f_2$[/tex] sono omotope. Quindi potrei concluderla anche così (correggetemi se sbaglio).
Però, mi rimane un unico dubbio. Chi mi assicura l'omeomorfismo tra [tex]$f(X)$[/tex] e [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]. Nel caso in cui la differenza fra codominio e immagine della funzione è solo di un punto ok. Però se ne manca più di uno?
Però, mi rimane un unico dubbio. Chi mi assicura l'omeomorfismo tra [tex]$f(X)$[/tex] e [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]. Nel caso in cui la differenza fra codominio e immagine della funzione è solo di un punto ok. Però se ne manca più di uno?
$f(X)$ non è necessariamente omeomorfo a $RR^2$. Però l'immagine di $f(X)$ attraverso la proiezione stereografica è contenuta in $RR^2$ per cui puoi usare l'omotopia in $RR^2$ tra l'identità e la mappa costante per costruirti un'omotopia per la tua mappa. Sia in particolare $\pi$ la proiezione stereografica. $\pi f : X \to RR^2$ è allora una funziona continua. Fissiamo ora un punto $P \in RR^2$. Vogliamo creare un'omotopia $H : X \times [0, 1] \to \RR^2$ tra $\pi f$ e la funzione costante $g(x) = P$. Definiamo $H(x, 0) = \pi f$, $H(x, 1) = g$, $H(x, t) = \pi f(x)(1 - t) + P t$. Ti lascio dimostrare che la mappa così definita è l'omotopia cercata. Per dimostrare ora che la mappa è omotopa alla funzione costante in $S^2$ devi ancora comporre $H$ per l'inversa della proiezione stereografica.
Ok, ora ci provo.
Credo che [tex]$H$[/tex] sia un'omotopia perché ogni combinazione convessa lo è (essendo [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] convesso, l'immagine di quell'omotopia è tutta contenuta in esso).
Poi, devo tornare indietro con la proiezione stereografica:
[tex]$X\times [0,1] \stackrel{H}{\longrightarrow} \mathbb{R}^2 \stackrel{\pi^{-1}}{\longrightarrow} S^2$[/tex].
Quindi mi verrebbe da dire che [tex]$G := \pi^{-1}\circ H$[/tex] è l'omotopia cercata.
Il problema è: chi mi garantisce che [tex]$G(x,t) \in f(X) \quad \forall (x,t) \in X\times[0,1]$[/tex]? Mi sa che non ho ben capito il tuo discorso.
Poi, devo tornare indietro con la proiezione stereografica:
[tex]$X\times [0,1] \stackrel{H}{\longrightarrow} \mathbb{R}^2 \stackrel{\pi^{-1}}{\longrightarrow} S^2$[/tex].
Quindi mi verrebbe da dire che [tex]$G := \pi^{-1}\circ H$[/tex] è l'omotopia cercata.
Il problema è: chi mi garantisce che [tex]$G(x,t) \in f(X) \quad \forall (x,t) \in X\times[0,1]$[/tex]? Mi sa che non ho ben capito il tuo discorso.
Ho l'impressione che tu non abbia ben presente il significato di omotopia.
Definizione. Se [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] sono due funzioni continue da uno spazio topologico [tex]X[/tex] ad uno spazio [tex]Y[/tex], diciamo che [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] sono omotope se esiste una funzione continua [tex]H : X \times [0, 1] \to Y[/tex] tale che [tex]H(x, 0) = f(x)[/tex] e [tex]H(x, 1) = g(x)[/tex] per ogni [tex]x \in X[/tex]. La mappa [tex]H[/tex] è chiamata un'omotopia tra [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex].
Data questa definizione, la mappa [tex]H[/tex] definita nel mio post precedente è un'omotopia tra [tex]\pi f[/tex] e [tex]g[/tex] (la mappa costante). Infatti, [tex]H(x, 0) = \pi f[/tex], [tex]H(x, 1) = g[/tex] ed è continua in quanto composizione di mappe continue ([tex]H(x, t) = F(\pi f(x), t)[/tex] dove [tex]F(x, t) = x(1 - t) + P t[/tex]). Sia adesso [tex]G = \pi^{-1}H[/tex]. [tex]G[/tex] è continua perché composizione di mappe continue. Inoltre [tex]G(x,0) = \pi^{-1}H(x,0) = \pi^{-1}\pi f = f[/tex] e [tex]G(x, 1) = \pi^{-1}H(x, 1) = \pi^{-1}g[/tex] che è una funzione costante perché [tex]g[/tex] lo è. [tex]G[/tex] è allora un'omotopia tra [tex]f[/tex] e una mappa costante e quindi il teorema è dimostrato.
Definizione. Se [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] sono due funzioni continue da uno spazio topologico [tex]X[/tex] ad uno spazio [tex]Y[/tex], diciamo che [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] sono omotope se esiste una funzione continua [tex]H : X \times [0, 1] \to Y[/tex] tale che [tex]H(x, 0) = f(x)[/tex] e [tex]H(x, 1) = g(x)[/tex] per ogni [tex]x \in X[/tex]. La mappa [tex]H[/tex] è chiamata un'omotopia tra [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex].
Data questa definizione, la mappa [tex]H[/tex] definita nel mio post precedente è un'omotopia tra [tex]\pi f[/tex] e [tex]g[/tex] (la mappa costante). Infatti, [tex]H(x, 0) = \pi f[/tex], [tex]H(x, 1) = g[/tex] ed è continua in quanto composizione di mappe continue ([tex]H(x, t) = F(\pi f(x), t)[/tex] dove [tex]F(x, t) = x(1 - t) + P t[/tex]). Sia adesso [tex]G = \pi^{-1}H[/tex]. [tex]G[/tex] è continua perché composizione di mappe continue. Inoltre [tex]G(x,0) = \pi^{-1}H(x,0) = \pi^{-1}\pi f = f[/tex] e [tex]G(x, 1) = \pi^{-1}H(x, 1) = \pi^{-1}g[/tex] che è una funzione costante perché [tex]g[/tex] lo è. [tex]G[/tex] è allora un'omotopia tra [tex]f[/tex] e una mappa costante e quindi il teorema è dimostrato.
Ho capito la dimostrazione, ma non riesco a capire perché non potevo usare direttamente [tex]$H : X\times [0,1] \to S^2$[/tex] definita da
[tex]$H(x,t)=f(x)(1-t)+ct$[/tex] e cosa mi permette di definirne una analoga invece in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
[tex]$H(x,t)=f(x)(1-t)+ct$[/tex] e cosa mi permette di definirne una analoga invece in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex].
Il problema è quello di comprendere il significato di [tex]H(x,t) = f(x)(1 - t) + ct[/tex] su [tex]S^2[/tex]. Stai infatti supponendo l'esistenza su [tex]S^2[/tex] di uno spazio vettoriale le cui operazioni sono compatibili con la topologia scelta. Conviene invece lavorare su una carta locale che contiene l'immagine di [tex]f[/tex] per poi tornare indietro alla sfera. In alternativa si può definire [tex]H[/tex] in modo più concreto considerando l'interpolazione sferica invece che quella lineare. Tieni comunque presente che potevi anche definire semplicemente [tex]H(x, t) = \pi^{-1}(\pi f(x)(1 - t) + ct)[/tex] e poi mostrare che è l'omologia cercata.
Ti ringrazio per l'aiuto e per la chiarezza 
Io prima parlavo di convessità perché mi immaginavo quella funzione come un segmento che $\forall x \in X$ va da $f(x)$ a $c$. E quindi sicuramente in $RR^2$ potevo fare una cosa del genere, in $S^2$ no. Ma mi sa che ho fatto parecchia confusione.
Io prima parlavo di convessità perché mi immaginavo quella funzione come un segmento che $\forall x \in X$ va da $f(x)$ a $c$. E quindi sicuramente in $RR^2$ potevo fare una cosa del genere, in $S^2$ no. Ma mi sa che ho fatto parecchia confusione.
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