Funzioni linearmente indipendenti

[Stefano931]

Ho trovato un esercizio in cui si chiede di dimostrare che la famiglia di funzioni (exp(x) , exp(2x)) (chiaramente in base naturale e) è linearmente indipendente.
Se non sbaglio devo dimostrare che le due funzioni sono linearmente indipendenti, e cioè non sono l'una il multiplo dell'altra.
Eppure non è così perchè sia per esempio x=2.
Le due funzioni diventano exp(2)=e^2 exp(4)=e^4.
Ora basta che λ=e^2 e si ottiene (e^2)*(e^2)=e^4.
Quindi le due funzioni mi sembrano evidentemente dipendenti, in quanto l'una multiplo dell'altra. Sbaglio qualcosa io o il testo dell'esercizio è posto in maniera sbagliata?

[Seneca1]

Attenzione, non devi fissare $x$. Devi dimostrare che $\forall \lambda$ (immagino reale) si ha che \[ e^x \ne \lambda e^{2x} \]
PER OGNI $x \in RR$.

[Stefano931]

Ma a me sembrava di avere fatto proprio quello in maniera indiretta. Cioè ho provato che tale proprietà non vale per ogni x reale. Cosa c'è di scorretta in questo ragionamento?

[Seneca1]

Per dimostrare che le due funzioni sono linearmente dipendenti (quello che credi di aver provato) devi trovare un $lambda$ tale che quell'uguaglianza valga $\forall x$. Tu invece hai trovato un $lambda$ tale che quell'uguaglianza vale solo per un certo $x$ fissato.

[valentina921]

scusate l'intromissione, mi trovo di fronte ad un esercizio simile: mi si chiede di dimostrare che le funzioni $e^(-x^2)$ e $xe^(-x^2)$ sono indipendenti. Anche io avevo pensato che se x=0 allora esistono coefficienti non tutti nulli tale che $\alphae^(-x^2)+\betaxe^(-x^2)=0$ , però adesso ho capito che questa relazione deve valere per ogni x e non solo per x=0, quindi, per dimostrare l'indipendenza lineare, in questo caso, fare:
$\alphae^(-x^2)+\betaxe^(-x^2)=0$ $AA x in RR$ $ rArr \alpha,\beta=0$

è sufficiente? basta?

Grazie!