Funzioni lineari

[Dust1]

Ho un esercizio che non riesco a risolvere..

Si considerino le funzioni lineari $L:RR^3->RR^2$ tali che:
$L((2,1,1))=(1,2)$ $L((1,0,1))=(1,2)$ $L((1,1,0))=(0,0)$
1)Quante ne esistono?
2)Sono tutte suriettive?
3)Ne esistono di suriettive?

Allora, per il punto 1) devo vedere se i vettori $(2,1,1),(1,0,1),(1,1,0)$ costituiscono una base del dominio $RR^3$, vero?
In questo caso non è così visto che $(1,0,1)=(2,1,1)-(1,1,0)$ perciò i vettori $(2,1,1),(1,1,0)$ costituiscono una base di $RR^2$. Così posso concludere che la funzione non è unica e ne esistono infinite, visto che per ottenere una base di $RR^3$ posso scegliere un qualsiasi vettore $(a,b,c)$ con $(a,b,c) !in <(2,1,1),(1,1,0)>$?

[Dust1]

Mi è venuta in mente una cosa: se quanto scritto sopra è giusto potrei ragionare così:

Visto che posso scegliere un qualsiasi vettore $(a,b,c)$ che verifichi la condizione scritta sopra, posso pensare alla base di $RR^3$ fatta così $<(a,b,c),(2,1,1),(1,1,0)>$
Ora posso considerare $L((a,b,c))=(lambda, mu)$ e posso dire che $Im(L)=<(1,2),(1,2),(0,0)(lambda,mu)>=<(1,2),(lambda,mu)>$
e dire che esistono $L$ suriettive, ma non tutte, solo quelle che soddisfano la condizione $(1,2)!=k(lambda, mu)$?

[_Tipper]

Io farei così: dato il dominio e il codominio della funzione la matrice rappresentativa sarà di ordine $2 \times 3$, cioè

$((A, B, C),(D, E, F))$

Ora $L((2,1,1))=(1,2)$ significa:

$((A, B, C),(D, E, F))((2),(1),(1))=((1),(2))$

Facendo così anche con gli altri ottieni un sistemino di $6$ equazioni in $6$ incognite, e se ha una sola soluzione significa che un'applicazione di questo genere è unica.

Comunque, visto le domande 2) e 3), almeno a intuito, direi che ci sono infinite applicazioni di questo genere (ma qui vado ad intuito ).