Funzioni lineari

[LUCIANO741]

Per dimostrare come sono le funzioni lineari da $RR$ $\rightarrow$ $RR$ ho visto che di solito si procede nel modo seguente:
- si considera la funzione $y=f(x)$ che può essere scritta come $y=f(x*1)$
- si pone $\alpha$$=$ $f(1)$
- si tratta la $x$ ome costante e per la proprietà delle funzioni lineari si ottiene $y=xf(1)$ $=$ $\alpha$ $*x$
si conclude che tutte le funzioni da $RR$ $\rightarrow$ $RR$ lineari devono avere la forma $\alpha$ $*x$.

Ciò che non mi è chiaro è come sia possibile in questo caso affermare che tutte e sole le funzioni lineari da $RR$ $\rightarrow$ $RR$ possono essere solamente del tipo $\alpha$ $*x$. Nella dimostrazione si considera la sola funzione $y=x$ ma non potrei fare lo stesso giochino ad esempio con la funzione $y=x^2+3$ ?

grazie a tutti

[marco.bre]

$bbbR$ ha una struttura di spazio vettoriale su $bbbR$ stesso, pertanto vettori e scalari sono la stessa cosa.
dato che ogni applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce su una base, sapendo come $f$ mappa la base ${1}$ di $bbbR$ so come mappa ogni vettore

la funzione che definisci sotto non è lineare (le funzioni lineari da $bbbR$ in $bbbR$ sono tutti e soli i polinomi di primo grado in una variabile). per dimostrarlo è sufficiente provare che non vale la definizione

[LUCIANO741]

grazie