Funzioni indipendenti e nucleo
Ciao!
Non riesco nè a dimostrare nè a trovare un controesempio di questa affermazione
se $X$[nota]edit corretto un typo[/nota] è un $k$ spazio vettoriale di dimensione $n$ e $f_1,...,f_n$ sono funzionali linearmente indipendenti non nulli allora $bigcap_(k=1)^(n)Ker(f_k)={0}$
Ma sono praticamente sicuro che sia vera perché ${f_1,...,f_n}$ forma una base del duale pertanto se $x in bigcap_(k=1)^(n)Ker(f_k)$ allora ogni funzionale, essendo combinazione delle $f_k$, si annullerebbe in $x$
Quindi si tratterebbe di costruire, dato un punto $x$, un funzionale che non si annulli in $x$.
Ho tipo il blocco dello scrittore
Non riesco nè a dimostrare nè a trovare un controesempio di questa affermazione
se $X$[nota]edit corretto un typo[/nota] è un $k$ spazio vettoriale di dimensione $n$ e $f_1,...,f_n$ sono funzionali linearmente indipendenti non nulli allora $bigcap_(k=1)^(n)Ker(f_k)={0}$
Ma sono praticamente sicuro che sia vera perché ${f_1,...,f_n}$ forma una base del duale pertanto se $x in bigcap_(k=1)^(n)Ker(f_k)$ allora ogni funzionale, essendo combinazione delle $f_k$, si annullerebbe in $x$
Quindi si tratterebbe di costruire, dato un punto $x$, un funzionale che non si annulli in $x$.
Ho tipo il blocco dello scrittore
Risposte
Metto la dimostrazione giusto per non lasciare il post vuoto
Dati $z in Xsetminus{0}$ e $B={x_1,...,x_n}$ una base esistono $lambda_1,...,lambda_n in k$ per cui
poiché $zne0$ esiste almeno un $lambda_r ne0$ con $r in {1,...,n}$
Pongo
Dove $E_r$ è l’$r$-esimo vettore della base canonica di $k^n$ e $C_B:X->k^n$[nota]edit avevo scritto $RR^n$ e non $k^n$[/nota] l’applicazione delle coordinate
Allora $varphi(z)=sum_(k=1)^(n)lambda_k E_r*C_B(x_k)=lambda_r ne0$
Dati $z in Xsetminus{0}$ e $B={x_1,...,x_n}$ una base esistono $lambda_1,...,lambda_n in k$ per cui
$z=sum_(k=1)^(n)lambda_k x_k$
poiché $zne0$ esiste almeno un $lambda_r ne0$ con $r in {1,...,n}$
Pongo
$varphi(x)=E_r * C_B(x)$
Dove $E_r$ è l’$r$-esimo vettore della base canonica di $k^n$ e $C_B:X->k^n$[nota]edit avevo scritto $RR^n$ e non $k^n$[/nota] l’applicazione delle coordinate
Allora $varphi(z)=sum_(k=1)^(n)lambda_k E_r*C_B(x_k)=lambda_r ne0$
ti conviene rileggere un attimo;)
Ciao Ancona 
A cosa ti riferisci? Mi sono accorto di tre refusi
-ho scritto all’inizio $V$ e poi $X$
-sarebbe meglio $E_r^T*C_B(x)$
-non aver specificato che lo spazio sia non banale
A cosa ti riferisci? Mi sono accorto di tre refusi
-ho scritto all’inizio $V$ e poi $X$
-sarebbe meglio $E_r^T*C_B(x)$
-non aver specificato che lo spazio sia non banale
Allora ti tocca ri-rileggere 
Perchè non sfrutti il fatto che c'è un isomorfismo? Ad ogni $f_k$ corrisponde un $v_k$ (e viceversa) e $B={v_1, v_2, ..., v_k,..., v_n}$ è una base per V
Il $ker(v_k)$ non è altro che l'iperpiano $v_k^Tx=0$ dove $x=$
Quindi il problema si riduce a fare il sistema degli $n$ iperpiani e otteniamo il sistema omogeneo $B^Tx=0$ la cui unica soluzione è quella banale dato che $B^T$ ha rango n per definizione.
Il $ker(v_k)$ non è altro che l'iperpiano $v_k^Tx=0$ dove $x=
Quindi il problema si riduce a fare il sistema degli $n$ iperpiani e otteniamo il sistema omogeneo $B^Tx=0$ la cui unica soluzione è quella banale dato che $B^T$ ha rango n per definizione.
Ciao bok
L’errore alla fine era semplicemente che prima ho preso $k$ e poi $RR$
Volevo evitare come la peste le matrici in questa dimostrazione
Comunque si è anche un modo in effetti; usando il fatto che $X$ e il suo duale siano isomorfi
L’errore alla fine era semplicemente che prima ho preso $k$ e poi $RR$
Volevo evitare come la peste le matrici in questa dimostrazione
Comunque si è anche un modo in effetti; usando il fatto che $X$ e il suo duale siano isomorfi
[...] Quindi il problema si riduce a fare il sistema degli n iperpiani e otteniamo il sistema omogeneo BTx=0 la cui unica soluzione è quella banale dato che BT ha rango n per definizione.
Complimenti, hai vinto il premio "prendi una dimostrazione inutilmente complicata e prova a fare di peggio"
"Ancona":
Complimenti, hai vinto il premio "prendi una dimostrazione inutilmente complicata e prova a fare di peggio"
Beh sempre un premio più di te e un post sensato in più di te in un thread in cui ne hai scritti 3.
[ot]
[/ot]
[/ot]
Data una base di uno spazio vettoriale, sai dimostrare che l’unico funzionale che si annulla su ogni vettore di tale base è quello nullo?
"gugo82":
Data una base di uno spazio vettoriale, sai dimostrare che l’unico funzionale che si annulla su ogni vettore di tale base è quello nullo?
In effetti l'intersezione di tutti gli spazi perpendicolari a tutti i funzionali deve essere perpendicolare a tutti i funzionali. E lo spazio perpendicolare ad una base è il funzionale nullo.
@arnett
È semplicemente il prodotto scalare un vettore della base canonica di $k^n$ e il vettore delle coordinate di $z$.
Ho preso un punto è costruito un funzionale che non si annulla in quel punto
È semplicemente il prodotto scalare un vettore della base canonica di $k^n$ e il vettore delle coordinate di $z$.
Ho preso un punto è costruito un funzionale che non si annulla in quel punto
@gugo
L’immagine è generata dalle immagini dei vettori della base del dominio; sotto quelle ipotesi l’immagine è ${0}$
L’immagine è generata dalle immagini dei vettori della base del dominio; sotto quelle ipotesi l’immagine è ${0}$
Dici a cosa si riferisse Ancona?
Si burlava di me
se guardi il primo post prima pongo “un $k$ spazio” e poi sotto scrivo $RR^n$
Si burlava di me
se guardi il primo post prima pongo “un $k$ spazio” e poi sotto scrivo $RR^n$
Il quesito mi serviva per dimostrare una affermazione relativa ai poliedri(in ambito ricerca operativa, lì non dimostrano nulla)
se $X$ è un $RR$ spazio vettoriale di dimensione $n$, $varphi_1,...,varphi_n$ funzionali indipendenti, $P={x in X: forall i in I_n(varphi_i(x)leqb_i)}$ un poliedro allora
in altre parole un poliedro generato da $varphi_1,...,varphi_m$ vincoli con $n
la dimostrazione di sopra la utilizzo in <=
di fatto se $z$ non fosse un vertice esisterebbero $x,y$ distinti nel poliedro per i quali $z=tx+(1-t)y$ con $t in (0,1)$ e quindi si fa la seguente considerazione
- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(x) assurdo
- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(y) analogo => assurdo
quindi si deve avere $varphi_i(x)=varphi_i(y)=varphi_i(z)$ per ogni $i in I_n$
ma per quanto dimostrato sopra, essendo le $varphi_i$ indipendenti, il sistema ammette un'unica soluzione e quindi si ottiene comunque un assurdo.
se $X$ è un $RR$ spazio vettoriale di dimensione $n$, $varphi_1,...,varphi_n$ funzionali indipendenti, $P={x in X: forall i in I_n(varphi_i(x)leqb_i)}$ un poliedro allora
$z$ è un vertice[nota]non esistono due punti $x,y$ distinti del poliedro tali che $z in (x,y)$[/nota] se e solo se $abs({i in I_n: varphi_i(z)=b_i})=n$
in altre parole un poliedro generato da $varphi_1,...,varphi_m$ vincoli con $n
la dimostrazione di sopra la utilizzo in <=
di fatto se $z$ non fosse un vertice esisterebbero $x,y$ distinti nel poliedro per i quali $z=tx+(1-t)y$ con $t in (0,1)$ e quindi si fa la seguente considerazione
- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(x)
- se esiste un $i in I_n$ per cui $varphi_i(y)
quindi si deve avere $varphi_i(x)=varphi_i(y)=varphi_i(z)$ per ogni $i in I_n$
ma per quanto dimostrato sopra, essendo le $varphi_i$ indipendenti, il sistema ammette un'unica soluzione e quindi si ottiene comunque un assurdo.
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