Funzioni differenziabili tra varietà.
Ciao a tutti! Sto iniziando a studiare un po' di Geometria differenziale e mi sono bloccato su un dubbio riguardo la definizione di funzione differenziabile tra varietà.
Mi sembra di capire che data una varietà differenziabile $M$, fornita di un atlante $\mathcal{A}=(U_i, \phi_i)_{i \in I}$, una funzione $f: M rarr \mathbb{R}$ è differenziabile in un punto $p \in M$ se la funzione $f \mathcal{@} \phi_j^{-1} : \phi_j(U_j) \rarr \mathbb{R}$ è una classica funzione differenziabile, dove $p \in U_j$.
Quello che mi chiedo è: se adesso doto lo spazio topologico $M$ di un altro atlante che conferisce ad $M$ una struttura di varietà differenziabile diversa da quella precedente, cioè il nuovo atlante non è compatibile con quello precedente, il fatto che la funzione $f$ era differenziabile nel primo caso implica o no che anche in questo caso la funzione $f$ sia differenziabile? Cioè è corretto chiedere la differenziabilità di una funzione $g: M \rarr \mathbb{R}$ con $M$ varietà, senza specificare l'atlante che stiamo considerando su M?
Grazie mille del chiarimento in anticipo!=)
Mi sembra di capire che data una varietà differenziabile $M$, fornita di un atlante $\mathcal{A}=(U_i, \phi_i)_{i \in I}$, una funzione $f: M rarr \mathbb{R}$ è differenziabile in un punto $p \in M$ se la funzione $f \mathcal{@} \phi_j^{-1} : \phi_j(U_j) \rarr \mathbb{R}$ è una classica funzione differenziabile, dove $p \in U_j$.
Quello che mi chiedo è: se adesso doto lo spazio topologico $M$ di un altro atlante che conferisce ad $M$ una struttura di varietà differenziabile diversa da quella precedente, cioè il nuovo atlante non è compatibile con quello precedente, il fatto che la funzione $f$ era differenziabile nel primo caso implica o no che anche in questo caso la funzione $f$ sia differenziabile? Cioè è corretto chiedere la differenziabilità di una funzione $g: M \rarr \mathbb{R}$ con $M$ varietà, senza specificare l'atlante che stiamo considerando su M?
Grazie mille del chiarimento in anticipo!=)
Risposte
No, non è corretto. La struttura non la puoi ignorare.
Ok, grazie! Ma se mi trovo un esercizio dove mi chiede di dimostrare che la funzione $f: S^2 \rarr \mathbb{R}^4$ definita da $f(x,y,z)=(x^2-y^2, xy, xz, yz) $ è differenziabile vuol dire che qualsiasi atlante considero sulla sfera $S^2$ ottengo sempre la stessa struttura differenziabile e quindi la scelta dell'atlante è indifferente?
Ma no. E' chiaro che si considera su \(S^2\) l'atlante solito.
Ciao,
come già detto da "vict85" e "dissonance", non puoi ignorare l'Atlante, perchè la composizione di applicazioni differenziabili è a sua volta un'applicazione differenziabile, diversamente no..
come già detto da "vict85" e "dissonance", non puoi ignorare l'Atlante, perchè la composizione di applicazioni differenziabili è a sua volta un'applicazione differenziabile, diversamente no..
Comunque, a rigore, devi considerare entrambe le strutture e non solo quella del dominio. Per esempio nel caso di \(\mathbb{R}^4\) vi è un numero continuo di strutture differenziabili non diffeomorfe (seppur omeomorfe). Cosa comunque falsa per ogni altro \(\mathbb{R}^n\). Nel caso di \(\displaystyle S^2 \) ogni struttura omeomorfa alla sfera solita è anche diffeomorfa ad essa (cosa falsa in generale per \(S^n\) ).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo