Funzione lineare:matrice associata

[skianthos90]

Buona giorno utenti del forum.Stavo rifacendo esercizi di esami passati e mi sono imbattuto in questo:
Sia $T:$$(RR_3[x])$$rarr$$(RR_2[x])$ la funzione lineare definita da:
$T(p(x))=p(1)-p(2)x+2p(-1)x^2$

a)Determinare la matrice associata a T rispetto alla base $\beta$$ ={1+x,1-x,x^2,x+x^3}$ nel dominio e $\beta$'$={1,x,x^2}$ nel codominio
b)Determinare il nucleo e l'immagine di T

Non riesco a capire come iniziare il$ p(x) $sarà un polinomio generico ma non so come muovermi.Vi ringrazio anticipatamente.

[Gi81]

Devi usare i vettori della base $beta$
$p(x)=1+x => T(p(x))=...$
$p(x)=1-x => T(p(x))=...$
$p(x)=x^2 => T(p(x))=...$
$p(x)=x+x^3 => T(p(x))=...$

[skianthos90]

"Gi8":Devi usare i vettori della base $beta$
$p(x)=1+x => T(p(x))=...$
$p(x)=1-x => T(p(x))=...$
$p(x)=x^2 => T(p(x))=...$
$p(x)=x+x^3 => T(p(x))=...$

Non capisco come procedere devo praticamente sostituire
$p(x)=1+x =>T(p(x))=(1+1)-(1+2)x+2(1-1)x^2$?
Se è gusto poi come dovrei procedere?

[Gi81]

Devi formare la matrice $A in cc(M)_(3x4) $con i valori ottenuti:
la prima colonna sarà formata da $T(1+x)$, la seconda da $T(1-x)$, la terza da $T(x^2)$ e la quarta da $T(x+x^3)$
Poi dovrai trovarne nucleo e immagine, ok?

[skianthos90]

"Gi8":Devi formare la matrice $A in cc(M)_(3x4) $con i valori ottenuti:
la prima colonna sarà formata da $T(1+x)$, la seconda da $T(1-x)$, la terza da $T(x^2)$ e la quarta da $T(x+x^3)$
Poi dovrai trovarne nucleo e immagine, ok?

Ti ringrazio intanto,ma i valori di ogni singola cella come la ricavo?Devo sostituire ad esempio$ 1+x $all'espressione iniziale?

[Gi81]

Sì, esattamente come hai fatto prima:

"skianthos90":$p(x)=1+x =>T(p(x))=(1+1)-(1+2)x+2(1-1)x^2$

[skianthos90]

"Gi8":Sì, esattamente come hai fatto prima:[quote="skianthos90"]$p(x)=1+x =>T(p(x))=(1+1)-(1+2)x+2(1-1)x^2$

[/quote]
Ti ringrazio e ora devo fare praticamente la matrice con i valori ottenuti giusto?