Funzione lineare composta
Ciao a tutti!
Sto cercando di capire come risolvere il seguente esercizio: sia $f : R^4 → R^3$ la funzione lineare la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, è A:
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & -1 \\
4 & t & 6 & 1 \\
-1 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
Si ponga ora $t = 0$. Si dica se esiste una funzione lineare $g : R^3 → R^4$ tale che $f ◦ g : R^3 → R^3 $ sia
l’identità. Se una tale $g$ esiste, si stabilisca se essa è unica.
Allora io ho capito che il fatto che $f ◦ g = I_d $ significa che devo controllare se $g$ è suriettiva e se $f$ è iniettiva, ma non capisco il motivo di questa verifica.
Inoltre qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come andrebbe risolto bene l'esercizio?
Grazie
Sto cercando di capire come risolvere il seguente esercizio: sia $f : R^4 → R^3$ la funzione lineare la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, è A:
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & -1 \\
4 & t & 6 & 1 \\
-1 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
Si ponga ora $t = 0$. Si dica se esiste una funzione lineare $g : R^3 → R^4$ tale che $f ◦ g : R^3 → R^3 $ sia
l’identità. Se una tale $g$ esiste, si stabilisca se essa è unica.
Allora io ho capito che il fatto che $f ◦ g = I_d $ significa che devo controllare se $g$ è suriettiva e se $f$ è iniettiva, ma non capisco il motivo di questa verifica.
Inoltre qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come andrebbe risolto bene l'esercizio?
Grazie
Risposte
Per prima cosa, \(g\) non sarà mai suriettiva in quanto funzione lineare da uno spazio vettoriale di dimensione 3 a uno di dimensione 4. Deve però essere certamente iniettiva perché l'identità è iniettiva. \(f\) invece dovrà essere suriettiva (l'immagine della composizione deve essere infatti tutto \(\mathbb R^3\)). Non potrà invece essere iniettiva per ragioni di dimensione di dominio e codominio. Qualora \(f\) non sia suriettiva puoi già stabilire che non è possibile trovare funzioni \(g\) che rispettino la condizione. In caso contrario tale funzione esiste. Immagino possa essere utile come esercizio cercare di calcolarla.