Funzione lineare
Ragazzi ho bisogno di un aiuto con un esercizio. Il numero 5.
https://drive.google.com/file/d/0B9w8qY ... VqTTQ/view
Il problema è un po' difficile da spiegare.
Al secondo punto mi si chiede di discutere al variare del parametro k, quando la funzione è iniettiva e/o suriettiva e di determinare una base del ker e dell'immagine.
Per determinarmi l'immagine mi sono preso i vettori della base canonica, li ho messi nella funzione e mi sono venuti i 3 vettori
( 1 , 1 , 1 ) (0, 1 , h) ( 0 , 1, h^2)
Allora è chiaro anche a occhio che questi tre vettori sono linearmente dipendenti se h=0 oppure h=1 quindi vuol dire che uno di questi può essere scartato e la dimensione è 2. Se invece h diverso da 1 e da 0 allora i 3 vettori sono linearmente indipendenti e quindi la dimensione dell'immagine è 3. Ora il problema sta che se io ad occhio nudo non mi accorgevo che quei 3 vettori erano linearmente dipendenti e indipendenti per quei valori di h, mi sarei andato a scrivere la loro combinazione lineare nulla e a studiare quindi la matrice corrispondente. Se si va sostituire h=1 oppure h=0, io ottengo in entrambi i casi che una possibile soluzione è ( 0, -z , z). A questo punto, come faccio a capire che la dimensione è 2 studiando la matrice?
https://drive.google.com/file/d/0B9w8qY ... VqTTQ/view
Il problema è un po' difficile da spiegare.
Al secondo punto mi si chiede di discutere al variare del parametro k, quando la funzione è iniettiva e/o suriettiva e di determinare una base del ker e dell'immagine.
Per determinarmi l'immagine mi sono preso i vettori della base canonica, li ho messi nella funzione e mi sono venuti i 3 vettori
( 1 , 1 , 1 ) (0, 1 , h) ( 0 , 1, h^2)
Allora è chiaro anche a occhio che questi tre vettori sono linearmente dipendenti se h=0 oppure h=1 quindi vuol dire che uno di questi può essere scartato e la dimensione è 2. Se invece h diverso da 1 e da 0 allora i 3 vettori sono linearmente indipendenti e quindi la dimensione dell'immagine è 3. Ora il problema sta che se io ad occhio nudo non mi accorgevo che quei 3 vettori erano linearmente dipendenti e indipendenti per quei valori di h, mi sarei andato a scrivere la loro combinazione lineare nulla e a studiare quindi la matrice corrispondente. Se si va sostituire h=1 oppure h=0, io ottengo in entrambi i casi che una possibile soluzione è ( 0, -z , z). A questo punto, come faccio a capire che la dimensione è 2 studiando la matrice?
Risposte
In pratica non stai capendo come ricavarti 0 e 1?
Se si basta studiare il determinante della matrice $ | ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , h , h^2 ) | $
Il determinante risulta essere h^2-h
Se il determinante è uguale a 0 allora il rango non è massimo
Quindi h^2-h=0
h(h-1)=0
h=0 e h=1
Se si basta studiare il determinante della matrice $ | ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , h , h^2 ) | $
Il determinante risulta essere h^2-h
Se il determinante è uguale a 0 allora il rango non è massimo
Quindi h^2-h=0
h(h-1)=0
h=0 e h=1
No la mia domanda in realtà era un'altra. Praticamente io devo indicare la dimensione dell'immagine al variare di h.
Come dicevo in questo caso si vede ad occhio nudo quando quei vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti, quindi è molto facile stabilire la dimensione. Il mio problema sta nel fatto che se avevo altri vettori un po' più complicati e per cui non si vede ad occhio nudo se sono dipendenti o indipendenti tra loro come avrei fatto a scoprire la dimensione dell'immagine al variare di h?
Ammettiamo che io non capisca quando quei vettori dell'esercizio sono l.i o l.d.ad occhio nudo, io avrei impostato una loro combinazione lineare nulla e poi mi sarei studiato la matrice dei coefficienti corrispondente. A quel punto discuto al variare di h; quando riesco a trovare 3 pivot allora vuol dire che i tre vettori sono l.i. e quindi sono base, ovvero dimensione dell'immagine uguale a 3. Invece per quei valori h per cui ci sono una infinità di soluzioni ovvero h=1 o h=0 come faccio a capire la dimensione dell'immagine? La dimensione dell'immagine per caso corrisponde al numero dei PIVOT che trovo?
Help ragazzi sono in crisi
Come dicevo in questo caso si vede ad occhio nudo quando quei vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti, quindi è molto facile stabilire la dimensione. Il mio problema sta nel fatto che se avevo altri vettori un po' più complicati e per cui non si vede ad occhio nudo se sono dipendenti o indipendenti tra loro come avrei fatto a scoprire la dimensione dell'immagine al variare di h?
Ammettiamo che io non capisca quando quei vettori dell'esercizio sono l.i o l.d.ad occhio nudo, io avrei impostato una loro combinazione lineare nulla e poi mi sarei studiato la matrice dei coefficienti corrispondente. A quel punto discuto al variare di h; quando riesco a trovare 3 pivot allora vuol dire che i tre vettori sono l.i. e quindi sono base, ovvero dimensione dell'immagine uguale a 3. Invece per quei valori h per cui ci sono una infinità di soluzioni ovvero h=1 o h=0 come faccio a capire la dimensione dell'immagine? La dimensione dell'immagine per caso corrisponde al numero dei PIVOT che trovo?
Help ragazzi sono in crisi
Devi tenere presente un fatto molto importante: la dimensione dell'immagine è uguale al rango della matrice associata e/o rappresentativa a f.
Ok grazie risolto!
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