Funzione lineare
Molto probabilmente è banale ma.. come faccio a dimostrare che una funzione è lineare?
So che deve rispettare la proprietà $f(ka+hb)\=\kf(a)\+\hf(b)$, ma nel concreto, se ho la funzione $f\:\RR^3\->\RR^3$ tale che: $f(e_1)\=\((1),(0),(1))$, $f(e_2)\=\((0),(1),(1))$, $f(e_1)\=\((2),(1),(0))$ dove $e_1, e_2, e_3$ sono i vettori della base canonica, come faccio a stabilire se è lineare?
Io so dimostrare che questi tre vettori formano una base, mi basta forse questo (che una funzione sia definita da una base ad una base) per affermare che $f$ è lineare?
So che deve rispettare la proprietà $f(ka+hb)\=\kf(a)\+\hf(b)$, ma nel concreto, se ho la funzione $f\:\RR^3\->\RR^3$ tale che: $f(e_1)\=\((1),(0),(1))$, $f(e_2)\=\((0),(1),(1))$, $f(e_1)\=\((2),(1),(0))$ dove $e_1, e_2, e_3$ sono i vettori della base canonica, come faccio a stabilire se è lineare?
Io so dimostrare che questi tre vettori formano una base, mi basta forse questo (che una funzione sia definita da una base ad una base) per affermare che $f$ è lineare?
Risposte
Cioè ti si chiede "sia $f:RR^3\to RR^3$ tale che $f(e_1)=\cdots$" ecc. e "...stabilire se $f$ è lineare."??? 
Non si può. Di solito si chiede di determinare (l'unica) l'applicazione lineare tale che $f(e_1)=\cdots$ e tutto il resto.
Non si può. Di solito si chiede di determinare (l'unica) l'applicazione lineare tale che $f(e_1)=\cdots$ e tutto il resto.
La consegna era "Determinare se esiste $f\:\RR^3\->\RR^3$ applicazione lineare tale che..." Io non l'ho fatto, ma mi sembrava che con una consegna del genere fosse da dimostrare che era lineare...
Ma quindi in generale definita un'applicazione da uno spazio vettoriale ad un altro non c'è modo di stabilire se sia lineare?
Ma quindi in generale definita un'applicazione da uno spazio vettoriale ad un altro non c'è modo di stabilire se sia lineare?
"Giso":
La consegna era "Determinare se esiste $f\:\RR^3\->\RR^3$ applicazione lineare tale che..." Io non l'ho fatto, ma mi sembrava che con una consegna del genere fosse da dimostrare che era lineare...
Ma quindi in generale definita un'applicazione da uno spazio vettoriale ad un altro non c'è modo di stabilire se sia lineare?
Quello che dice Plepp è giustissimo. Tu devi supporre che l'applicazione sia lineare e vedere se riesci a scriverla. Per farlo sfrutterai proprio la linearità, con la relazione che hai scritto nel primo post.
Se hai altri dubbi posta pure.
Ah allora avevo solo interpretato male la consegna!
In questo caso direi che si ha $f((x),(y),(z))\=\((x+2z),(y+z),(x+y))$ giusto?
In questo caso direi che si ha $f((x),(y),(z))\=\((x+2z),(y+z),(x+y))$ giusto?
"Giso":
Ah allora avevo solo interpretato male la consegna!
In questo caso direi che si ha $f((x),(y),(z))\=\((x+2z),(y+z),(x+y))$ giusto?
Sì esatto.
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