Funzione invertibile e relativa inversa

[lupielia]

2)Sia F : R3 → R3 l’applicazione lineare tale che F(1, 0, 0) = (1, 0, 2), G(0, 1, 0) = (2, 1, 0), G(0, 0, 1) = (0, 2, 1). Si stabilisca se F `e invertibile ed in caso affermativo se ne determini l’inversa.
Qualcuno sa aiutarmi? grazie mille in anticipo!

[feddy]

Hai dat a l'azione della $F$ sulla base canonica di $RR^3$: l'applicazione è univocamente determinata, e la matrice rappresentativa è la matrice 3x3 che ha come colonne le immagini. Studiati il kernel (nucleo) e, utilizzando il teorema delle dimensioni (a.k.a nullità più rango) e mostra se è invertibile o meno. In caso sia invertibile, $F^{-1}$ è data semplicemente dalla martrice inversa, e da lì puoi riscostruire l'applicazione.

P.S.: Dovresti postare in algebra lineare

[anto_zoolander]

[xdom="anto_zoolander"]sposto in Algebra lineare

Per favore presta più attenzione, è già il secondo.[/xdom]

[Bokonon]

Chiamiamo F la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base $ {(( 1 ),( 0 ),( 0 )), ( ( 1 ),( 0 ),( 2 )),( ( 0 ),( 1 ),( 0 ))} $ Messa in matrice diventa $B= ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ))$ E' una base perchè perchè $det(B)=2!=0$.
Chiamiamo $A=( ( 2 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 1 ) )$ e $det(A)=-4!=0$
E ora ragioniamo con l'equazione, così facciamo presto:
$BF=A$ quindi $ F=B^(-1)A$
Dato che $det(F)=det(B^(-1)A)=det(B^(-1))det(A)=-8!=0$ sappiamo che F è invertibile.
Inoltre sempre dall'equazione avremo che $F^(-1)=A^(-1)B$