Funzione inversa, e dimostrazioni sulle funzioni
Ciao a tutti, vi devo chiedere dei chiarimenti riguardo esercizi che sto provando a fare ma che non ho capito:
Il primo è un esercizio che dice
Considera $ f : R4 -> R2 per f(x; y; z;w) = (3x - 2y - z - w; x + 4z). $
l'esercizio chiede varie cose, che ho ben capito e risolto, pero chiede anche
Prova che $ S = f(x; y; z;w) € R4 tal che ( x + y + 2z = 0) $ é Sottospazzio di de R4 e calcola
$ f^-1 (<1,2>) $ indicando una base e dimensione.
calcola $ f^-1 (1,2) $.
Dunque come avrete capito non ho capito bene il discorso della funzione inversa, potreste linkarmi qualcosa che me la spieghi,bene e semplicemente? Io per ora so che una F è invertibile se è Biettiva... ma negli esercizi non ci salto fuori!!
Mentre le dimostrazioni delle quali ho bisogno sono queste
Considera una funzione e una base del dominio, dimostra che è iniettiva se l'immagine della base è lin ind.
suriettiva se è un sistema di generatori
biettiva se è una base
Il primo è un esercizio che dice
Considera $ f : R4 -> R2 per f(x; y; z;w) = (3x - 2y - z - w; x + 4z). $
l'esercizio chiede varie cose, che ho ben capito e risolto, pero chiede anche
Prova che $ S = f(x; y; z;w) € R4 tal che ( x + y + 2z = 0) $ é Sottospazzio di de R4 e calcola
$ f^-1 (<1,2>) $ indicando una base e dimensione.
calcola $ f^-1 (1,2) $.
Dunque come avrete capito non ho capito bene il discorso della funzione inversa, potreste linkarmi qualcosa che me la spieghi,bene e semplicemente? Io per ora so che una F è invertibile se è Biettiva... ma negli esercizi non ci salto fuori!!
Mentre le dimostrazioni delle quali ho bisogno sono queste
Considera una funzione e una base del dominio, dimostra che è iniettiva se l'immagine della base è lin ind.
suriettiva se è un sistema di generatori
biettiva se è una base
Risposte
Inoltre come faccio a sapere se una funzione è suriettiva? Intendo in un esercizio! Devo imporre che l'immagine sia uguale al Codominio e basta?
Volevi forse scrivere:
Provare che \(\displaystyle S:=\{(x,y,z,w) \in \mathbb R^4 : x+y+2z=0 \} \) è un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb R^4 \)?
perchè \(\displaystyle f(x,y,z,w) \) è un elemento di \(\displaystyle \mathbb R^2 \) non \(\displaystyle \mathbb R^4 \)
E poi stai considerando il vettore \(\displaystyle v:=(1,2) \) o cosa?
Impara a usare le formule, non è difficile
Per quanto riguarda iniettività e suriettività, nucleo è immagine vengono introdotte proprio per questo. Si ha infatti
\(\displaystyle f \) è iniettiva \(\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(f)=\{\ 0 \} \)
\(\displaystyle f \) è suriettiva \(\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm{Im}(f)=\mathrm{codominio} \)
(sapresti dimostrare queste due?)
dunque per provare che $f$ è suriettiva basta vedere che la sua immagine, che è un sottospazio del codominio, ha dimensioni pari a quella del codominio
Provare che \(\displaystyle S:=\{(x,y,z,w) \in \mathbb R^4 : x+y+2z=0 \} \) è un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb R^4 \)?
perchè \(\displaystyle f(x,y,z,w) \) è un elemento di \(\displaystyle \mathbb R^2 \) non \(\displaystyle \mathbb R^4 \)
E poi stai considerando il vettore \(\displaystyle v:=(1,2) \) o cosa?
Impara a usare le formule, non è difficile
Per quanto riguarda iniettività e suriettività, nucleo è immagine vengono introdotte proprio per questo. Si ha infatti
\(\displaystyle f \) è iniettiva \(\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(f)=\{\ 0 \} \)
\(\displaystyle f \) è suriettiva \(\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm{Im}(f)=\mathrm{codominio} \)
(sapresti dimostrare queste due?)
dunque per provare che $f$ è suriettiva basta vedere che la sua immagine, che è un sottospazio del codominio, ha dimensioni pari a quella del codominio
Ciao grazie per la risposta, scusa se ho scritto da cani ma erano le tre di notte e avevo fretta, per la dimostrazione che l'insieme sia un sottospazio non c'è problema, e ho imparato a calcolare anche la funzione inversa in altri esercizi su questo sito 
per il resto mi rimane un dubbio:
Le dimostrazioni che mi hai chiesto non le so, se mi alleghi un link sarò felicissimo di guardarmelo,ma l'esercizio chiedeva di dimostrare un altra cosa: te lo posto per intero:
8. (a) Dai un esempio di applicazione lineare che trasforma vettori Linearmente indipendenti in vettori Linaermente dipend.
(b) Dimostra che uma app. lineare Puo trasformare vettori linearmente dipendenti in vettori linearmente indip.
(c) Quando possiamo affermare che una applicazione lineare è Iniettiva?
(d) Dimostra che se se $ u_1 , u_2.... u_n € E $ e $ f: E->F $ è un isomorfismo, allora $ u_1...u_n $ è linearmente indipendente se e solo se $ f(u_1)...f(u_n) $ è linearmente indipendente.
9. Considere $ h : E --> F $ lineare e $ u_1 , u_2.... u_n $ una base de E. Prova che:
(a) $h$ è iniettiva se e solo se $ h(u_1)...h(u_n) $ è una famiglia di vettori linearmente indipendenti
(b) $h$ é suriettiva se e solo se $ h(u_1)...h(u_n) $ è una famiglia di generatori di F
(c) $h$ é biettiva se e solo se $ h(u_1)...h(u_n) $ è una base di F.
Dunque l'esercizio 8 io lo ho svolto cosi:
a) esempio $ { f: R^2 ---> R^5 tal che (x,y)---> (x+2y,2x+y,x,x-y,-y)} $ perche a mio parere dovrebbe sempre darmi un vettori che sono combinazioni lineari uni degli altri quindi da $ (x,y) $ linearmente ind arrivo ad un insieme $ (x+2y,2x+y,x,x-y,-y) $ sottospazio di $ R^5 $ di vettori linearmente dipendenti.
b)qui non saprei bene come comportami, mi verrebbe da scrivere una funzione come quella di prima ma al contrario, qualcosa del tipo: $ { R^3--->R^2 tal che (x,x+z,z) ---> (x,z)} $ non so se basti per dimostrare questo...
c)Una applicazione è iniettiva quando ogni elemento dell'immagine ha una sola controimmagine definita nel dominio. oppure $ Ker(f) = 0_F) $
d)Non ho idea di questa mi potete spiegare come si svolge?
Esercizio 9: in questo non ho proprio idea,perche mi risulta chiara la tesi ma non ho idea di come dimostrarla.
Grazie!!!
per il resto mi rimane un dubbio:Le dimostrazioni che mi hai chiesto non le so, se mi alleghi un link sarò felicissimo di guardarmelo,ma l'esercizio chiedeva di dimostrare un altra cosa: te lo posto per intero:
8. (a) Dai un esempio di applicazione lineare che trasforma vettori Linearmente indipendenti in vettori Linaermente dipend.
(b) Dimostra che uma app. lineare Puo trasformare vettori linearmente dipendenti in vettori linearmente indip.
(c) Quando possiamo affermare che una applicazione lineare è Iniettiva?
(d) Dimostra che se se $ u_1 , u_2.... u_n € E $ e $ f: E->F $ è un isomorfismo, allora $ u_1...u_n $ è linearmente indipendente se e solo se $ f(u_1)...f(u_n) $ è linearmente indipendente.
9. Considere $ h : E --> F $ lineare e $ u_1 , u_2.... u_n $ una base de E. Prova che:
(a) $h$ è iniettiva se e solo se $ h(u_1)...h(u_n) $ è una famiglia di vettori linearmente indipendenti
(b) $h$ é suriettiva se e solo se $ h(u_1)...h(u_n) $ è una famiglia di generatori di F
(c) $h$ é biettiva se e solo se $ h(u_1)...h(u_n) $ è una base di F.
Dunque l'esercizio 8 io lo ho svolto cosi:
a) esempio $ { f: R^2 ---> R^5 tal che (x,y)---> (x+2y,2x+y,x,x-y,-y)} $ perche a mio parere dovrebbe sempre darmi un vettori che sono combinazioni lineari uni degli altri quindi da $ (x,y) $ linearmente ind arrivo ad un insieme $ (x+2y,2x+y,x,x-y,-y) $ sottospazio di $ R^5 $ di vettori linearmente dipendenti.
b)qui non saprei bene come comportami, mi verrebbe da scrivere una funzione come quella di prima ma al contrario, qualcosa del tipo: $ { R^3--->R^2 tal che (x,x+z,z) ---> (x,z)} $ non so se basti per dimostrare questo...
c)Una applicazione è iniettiva quando ogni elemento dell'immagine ha una sola controimmagine definita nel dominio. oppure $ Ker(f) = 0_F) $
d)Non ho idea di questa mi potete spiegare come si svolge?
Esercizio 9: in questo non ho proprio idea,perche mi risulta chiara la tesi ma non ho idea di come dimostrarla.
Grazie!!!
Cominciamo con (8)
(a) Esempio di applicazione lineare che manda vettori l.i. in vettori l.d.
La mappa $bbbR^2 to bbbR^2$ la cui matrice rispetto alla base canonica (per dominio e codominio) è
$((1,0),(0,0))$
manda entrambi i vettori $(1,1)$ e $(1,0)$ (che sono l.i.) in $(1,0)$ (non confonderti - i due vettori vengono mandati in $(1,0,)$ e $(1,0)$ che sono l.d. perchè $1*(1,0)-1*(1,0)=(0,0)$)
(b) qui per me hai sbagliato a scrivere perchè un'applicazione lineare manda SEMPRE vettori l.d. in vettori l.d.
Sia $f:E to F$ lineare e siano $v_1,...,v_N$ l.d., allora $exists alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n. (non tutti nulli) tali che $alpha_1 v_1+...+alpha_N v_N=0_E$, pertanto
$0_F=f(0_E)=f(alpha_1 v_1+...+alpha_N v_N)=alpha_1 f(v_1)+...+alpha_N f(v_N)$
con $alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n., ovvero $f(v_1),...,f(v_N)$ sono l.d.
(c) come ti ho scritto sopra, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è formato dal solo vettore nullo
(la dimostrazione è semplice, la trovi su ogni libro di algebra lineare, tipo il Sernesi)
Se $f$ è iniettiva allora l'unico vettore che viene mandato in $0_F$ è $0_E$ pertanto $text{Ker}(f)={0_E}$
Viceversa sia $text{Ker}(f)={0_E}$. SIano $v_1,v_2 in E$ tali che $f(v_1)=f(v_2)$, allora $f(v_1-v_2)=f(v_1)-f(v_2)=0_F$ ovvero $v_1-v_2 in text{Ker}(f)$, ma poichè $text{Ker}(f)={0_E}$ segue $v_1=v_2$. Dunque $f$ è iniettiva.
(d) devi provare che se $f:E to F$ è un isomorfismo e $u_1,...,u_N in E$ allora vale
$u_1,...,u_N$ l.i. $Leftrightarrow f(u_1),...,f(u_N)$ l.i.
($Leftarrow$) è equivalente a dire $u_1,,,.u_N$ l.d. $Rightarrow f(u_1),...,f(u_N)$ l.d., cosa che ho provato al punto (b)
($Rightarrow$) Anche qui dimostro la proposizione equivalente
$f(u_1),...,f(u_N)$ l.d. $Rightarrow u_1,...,u_N$ l.d.
se $f(u_1),...,f(u_N)$ sono l.d. allora $exists alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n. tali che $alpha_1f(u_1)+...+alpha_Nf(u_N)=0_F$ cioè $f(alpha_1u_1+...+alpha_Nu_N)=0_F$, ovvero $alpha_1u_1+...+alpha_Nu_N in text{Ker}(f)$; ma $f$ è un isomorfismo, per cui è iniettiva, e quindi $text{Ker}(f)={0_E}$. Segue $alpha_1u_1+...+alpha_Nu_N=0_E$ ovvero $u_1,...,u_N$ l.d.
ora non ho tempo per il (9), rispondo appena posso
(a) Esempio di applicazione lineare che manda vettori l.i. in vettori l.d.
La mappa $bbbR^2 to bbbR^2$ la cui matrice rispetto alla base canonica (per dominio e codominio) è
$((1,0),(0,0))$
manda entrambi i vettori $(1,1)$ e $(1,0)$ (che sono l.i.) in $(1,0)$ (non confonderti - i due vettori vengono mandati in $(1,0,)$ e $(1,0)$ che sono l.d. perchè $1*(1,0)-1*(1,0)=(0,0)$)
(b) qui per me hai sbagliato a scrivere perchè un'applicazione lineare manda SEMPRE vettori l.d. in vettori l.d.
Sia $f:E to F$ lineare e siano $v_1,...,v_N$ l.d., allora $exists alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n. (non tutti nulli) tali che $alpha_1 v_1+...+alpha_N v_N=0_E$, pertanto
$0_F=f(0_E)=f(alpha_1 v_1+...+alpha_N v_N)=alpha_1 f(v_1)+...+alpha_N f(v_N)$
con $alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n., ovvero $f(v_1),...,f(v_N)$ sono l.d.
(c) come ti ho scritto sopra, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è formato dal solo vettore nullo
(la dimostrazione è semplice, la trovi su ogni libro di algebra lineare, tipo il Sernesi)
Se $f$ è iniettiva allora l'unico vettore che viene mandato in $0_F$ è $0_E$ pertanto $text{Ker}(f)={0_E}$
Viceversa sia $text{Ker}(f)={0_E}$. SIano $v_1,v_2 in E$ tali che $f(v_1)=f(v_2)$, allora $f(v_1-v_2)=f(v_1)-f(v_2)=0_F$ ovvero $v_1-v_2 in text{Ker}(f)$, ma poichè $text{Ker}(f)={0_E}$ segue $v_1=v_2$. Dunque $f$ è iniettiva.
(d) devi provare che se $f:E to F$ è un isomorfismo e $u_1,...,u_N in E$ allora vale
$u_1,...,u_N$ l.i. $Leftrightarrow f(u_1),...,f(u_N)$ l.i.
($Leftarrow$) è equivalente a dire $u_1,,,.u_N$ l.d. $Rightarrow f(u_1),...,f(u_N)$ l.d., cosa che ho provato al punto (b)
($Rightarrow$) Anche qui dimostro la proposizione equivalente
$f(u_1),...,f(u_N)$ l.d. $Rightarrow u_1,...,u_N$ l.d.
se $f(u_1),...,f(u_N)$ sono l.d. allora $exists alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n. tali che $alpha_1f(u_1)+...+alpha_Nf(u_N)=0_F$ cioè $f(alpha_1u_1+...+alpha_Nu_N)=0_F$, ovvero $alpha_1u_1+...+alpha_Nu_N in text{Ker}(f)$; ma $f$ è un isomorfismo, per cui è iniettiva, e quindi $text{Ker}(f)={0_E}$. Segue $alpha_1u_1+...+alpha_Nu_N=0_E$ ovvero $u_1,...,u_N$ l.d.
ora non ho tempo per il (9), rispondo appena posso
Per il (9) provo a farlo concludere a te
(a) $h$ iniettiva $Leftrightarrow$ $h(u_1),...,h(u_N)$ l.i.
($Rightarrow$) E' più facile provare l'enunciato equivalente: $h(u_1),...,h(u_N)$ l.d. $Rightarrow$ $h$ non iniettiva.
Siano $h(u_1),...,h(u_N)$ l.d., allora $exists alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n. tali che $alpha_1 h(u_1) + ... + alpha_N (u_N)=0_F$ da cui $h(alpha_1 u_1+...+alpha_N u_N)=0_F$ ovvero...
($Leftarrow$) Come sempre proviamo l'enunciato equivalente: $h$ non iniettva $Rightarrow$ $h(u_1),...,h(u_N)$ l.d.
Poichè $h$ non è iniettiva $exists v,w in E: v,w!=0_E,v!=w$ e $h(v)=h(w)$. Siano $alpha_1,...,alpha_N,beta_1,...,beta_N in bbbK$ tali che $v=alpha_1 u_1+...+alpha_N u_N$ e $w=beta_1 u_1+...+beta_N u_N$ (esistono perchè i vettori $u_i$ formano una base) allora $h(alpha_1 u_1+...+alpha_Nu_N)=h(beta_1u_1+...+beta_Nu_N) Rightarrow h((alpha_1-beta_1) u_1+...+(alpha_N-beta_N)u_N)=0_F Rightarrow (alpha_1-beta_1)h(u_1)+...+(alpha_N-beta_N)h(u_N)=0_F$
in particolare i coefficienti $alpha_i-beta_i$ sono n.t.n in quanto i vettori $v$ e $w$ sono diversi, pertanto $h(u_1),...,h(u_N)$ sono l.d.
(b) $h$ suriettiva $Leftrightarrow$ $h(u_1),...,h(u_N)$ generano $F$
($Rightarrow$) Per definizione di suriettività abbiamo che $forall w in F exists v in E: w=h(v)$. Ora siano $alpha_1,...,alpha_N$ le coordinate di $v$ rispetto la base degli $u_i$, allora...
($Leftarrow$) Se $h(u_1),...,h(u_N)$ generano $F$, allora $forall w in F exists alpha_1,...,alpha_N$ tali che $w=alpha_1h(u_1)+...+alpha_Nh(u_N)=h(alpha_1u_1+....+alpha_Nu_N)$ ovvero...
(c) metti insieme (a) e (b)
(a) $h$ iniettiva $Leftrightarrow$ $h(u_1),...,h(u_N)$ l.i.
($Rightarrow$) E' più facile provare l'enunciato equivalente: $h(u_1),...,h(u_N)$ l.d. $Rightarrow$ $h$ non iniettiva.
Siano $h(u_1),...,h(u_N)$ l.d., allora $exists alpha_1,...,alpha_N in bbbK$ n.t.n. tali che $alpha_1 h(u_1) + ... + alpha_N (u_N)=0_F$ da cui $h(alpha_1 u_1+...+alpha_N u_N)=0_F$ ovvero...
($Leftarrow$) Come sempre proviamo l'enunciato equivalente: $h$ non iniettva $Rightarrow$ $h(u_1),...,h(u_N)$ l.d.
Poichè $h$ non è iniettiva $exists v,w in E: v,w!=0_E,v!=w$ e $h(v)=h(w)$. Siano $alpha_1,...,alpha_N,beta_1,...,beta_N in bbbK$ tali che $v=alpha_1 u_1+...+alpha_N u_N$ e $w=beta_1 u_1+...+beta_N u_N$ (esistono perchè i vettori $u_i$ formano una base) allora $h(alpha_1 u_1+...+alpha_Nu_N)=h(beta_1u_1+...+beta_Nu_N) Rightarrow h((alpha_1-beta_1) u_1+...+(alpha_N-beta_N)u_N)=0_F Rightarrow (alpha_1-beta_1)h(u_1)+...+(alpha_N-beta_N)h(u_N)=0_F$
in particolare i coefficienti $alpha_i-beta_i$ sono n.t.n in quanto i vettori $v$ e $w$ sono diversi, pertanto $h(u_1),...,h(u_N)$ sono l.d.
(b) $h$ suriettiva $Leftrightarrow$ $h(u_1),...,h(u_N)$ generano $F$
($Rightarrow$) Per definizione di suriettività abbiamo che $forall w in F exists v in E: w=h(v)$. Ora siano $alpha_1,...,alpha_N$ le coordinate di $v$ rispetto la base degli $u_i$, allora...
($Leftarrow$) Se $h(u_1),...,h(u_N)$ generano $F$, allora $forall w in F exists alpha_1,...,alpha_N$ tali che $w=alpha_1h(u_1)+...+alpha_Nh(u_N)=h(alpha_1u_1+....+alpha_Nu_N)$ ovvero...
(c) metti insieme (a) e (b)
spero sia chiaro quando parlo di "provare l'enunciato equivalente" di una implicazione.
Intendo dire che se ho due proposizioni $P$ e $Q$, le proposizioni $P Rightarrow Q$ e la sua contronominale $text{non}Q Rightarrow text{non}P$ sono "equivalenti" (nel senso che se la prima è vera pure la seconda lo è e viceversa)
Intendo dire che se ho due proposizioni $P$ e $Q$, le proposizioni $P Rightarrow Q$ e la sua contronominale $text{non}Q Rightarrow text{non}P$ sono "equivalenti" (nel senso che se la prima è vera pure la seconda lo è e viceversa)
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