Funzione iniettiva....algebra

[giopk]

salve a tutti...vi propongo qst quesito....
sia f:V-->V con un autovalore nullo, è vero che f è iniettiva?? mi sapete aiutare??

[Richard_Dedekind]

Pensaci un attimo. Se fosse iniettiva, allora avremmo \(\ker(f)=\{\boldsymbol{0}\}\), ma se \(v\) è l'autovettore relativo a \(0\), allora \(v\neq \boldsymbol{0}\) e \(f(v)=\boldsymbol{0}\)...

[giopk]

scusa ma nn ti seguo...sono d'accordo che se f è iniettiva il nucleo è costituito dal solo vettore nullo, ma poi??

[Gi81]

Cosa significa che c'è l'autovalore nullo?
Significa che $EE ulv in V-{ul0}$ tale che $f(ulv)=0*ulv=ul0$, cioè $EE ulv in V-{ul0}$ tale che $ulv in Ker(f)$

[giopk]

allora la risposta è no, xkè ha un solo autovalore nullo, essendo gli altri diversi dallo 0 esiste un vettore tale che applicandogli f è non nullo

[Gi81]

La tua frase non ha molto senso.

Abbiamo appena visto che se c'è l'autovalore nullo allora c'è un vettore non nullo che appartiene al nucleo.
Dunque il nucleo non è costituito dal solo vettor nullo. Pertanto $f$ non può essere iniettiva. Fine

[giopk]

ok allora credo di aver capito, ricapitolando se f deve essere iniettiva per definizione il nucleo deve essere costituito dal solo vettore nullo, xò se abbiamo un autovalore nullo allora cmq io prenda un vettore non nullo, f(v) sarà sempre nullo, quindi il nucleo non è formato solo dal vettore nullo, ergo f non è iniettiva!!

[Gi81]

"giopk91": ricapitolando se f deve essere iniettiva per definizione il nucleo deve essere costituito dal solo vettore nullo...

non è per definizione, è una proprietà: $f$ iniettiva se e solo se $ker(f)={ul0}$

"giopk91":xò se abbiamo un autovalore nullo allora cmq io prenda un vettore non nullo, f(v) sarà sempre nullo...

non "comunque io prenda un vettore non nullo". Piuttosto "esiste un vettore non nullo"

[giopk]

va bene chiaro...grazieee

[Gi81]

Prego... a proposito benvenuto nel forum!