Funzione ellittica

[Dinah1]

Ho un dubbio sulla definizione di funzione ellittica:
Una funzione ellittica è una funzione meromorfa
$\mathbb{C}\backslash\Lambda_{\tau}\rightarrow \mathbb{C}$

o è la funzione
$\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$
periodica con $f(z+1)=f(z)$ e $f(z+\tau)=f(z)$?

Chiaramante le due sono collegate, in quanto $\mathbb{C}$ è rivestimento di $\mathbb{C}\backslash\Lambda_{\tau}$, ma quale delle due è la funzione ellittica?

[maurer]

Credo la seconda (che comunque è meromorfa, bada bene).

Come definisci una funzione meromorfa?

[Dinah1]

La definisco come una funzione alla quale togliendo un insieme discreto di punti dal dominio risulta essere olomorfa.

Guardando in internet anche a me sembrerebbe la seconda, ma dai miei appunti no.

Probabilmente la prima si può definire funzione ellittica sul rivestimento della seconda, perché comunque componendo con il rivestimento la periodicità è invariante.

Che ne pensi?

[maurer]

"Dinah":La definisco come una funzione alla quale togliendo un insieme discreto di punti dal dominio risulta essere olomorfa.

No, così è sbagliato. Prendi [tex]z \mapsto \exp \left( \frac{1}{z} \right)[/tex]. Questa non merita di essere chiamata meromorfa, perché nell'origine ha una singolarità essenziale. Dovrai chiedere che i punti che togli siano poli per la tua funzione.

"Dinah":
Probabilmente la prima si può definire funzione ellittica sul rivestimento della seconda, perché comunque componendo con il rivestimento la periodicità è invariante.

Non mi è chiaro il significato della frase. Comunque, sì, data una funzione ellittica questa definisce in modo unico una funzione sul toro, e viceversa (proprietà universale del quoziente, se vogliamo spesseggiare).