Funzione di matrice

[Deimos90rm]

Ciao a tutti, ho alcuni problemi con questi tipi di esercizi perchè ho pochissimi esercizi svolti, se avete una raccolta da consigliarmi su funzioni di matrici ve ne sarei molto grato. Veniamo all'esercizietto:

Sia A una matrice 2x2 data da

$ A=1/2(I+hat(n)*hat(sigma) ) $ ,

dove n è un versore e "sigma" il vettore composto dalle matrici di Pauli.

Determinare la soluzione matriciale X dell'equazione algebrica

$ X+A+1/2XA=0 $

[killing_buddha]

Qui ci sono un sacco di esercizi simili http://issc.uj.ac.za/downloads/problems ... necker.pdf

[Deimos90rm]

Ti ringrazio ma mi servirebbero degli esercizi con soluzione
In alcuni casi non so proprio dove mettere le mani...

[killing_buddha]

Se fai attenzione a tenere conto del fatto che l'anello \(M_2(\mathbb{C})[X]\) non e' commutativo, si tratta semplicemente di risolvere un'equazione lineare in esso: da \(X+A +\frac{1}{2}XA=\mathbf{0}\) (dove \(\bf 0\) e' la matrice nulla) ricavi che
\[
X = -A\left( \mathbf{1}+\frac{1}{2}A \right)^{-1}
\]
(dove \(\bf 1\) e' la matrice identica). Questo ti dice che dovrai imporre delle condizioni sull'invertibilita' di \(\mathbf{1}+\frac{1}{2}A\), che molto probabilmente seguiranno da argomenti elementari sul suo determinante, e dal fatto che \(\|A\|_\infty \le 1\).

[Deimos90rm]

Grazie mille. Avevo immaginato di iniziare così e di trovare la matrice X in quel modo, ma poi non so continuare.
Ho pensato che se riuscissi a trovare gli autovalori di A potrei scrivere X come una funzione di A. Poi so che ogni funzione di A si può scrivere come una somma finita di potenze di A, ma per determinarne i coefficienti dovrei conoscere gli autovalori di A. Come posso determinarli? C'è magari un modo per scrivere esplicitamente la matrice A? Non credo visto che il versore n non si sa che direzione abbia.

[killing_buddha]

Senza ulteriori informazioni credo sia difficile dire di più. Già dare un senso formale alla scrittura \(\hat n\cdot \hat\sigma\) non è immediato, nel senso che per quanto è evidente che questo significhi semplicemente la somma
\[
\sum n_i \sigma_i = \left(
\begin{array}{cc}
n_1+n_4 & n_2-i n_3 \\
n_2+i n_3 & n_1-n_4 \\
\end{array}
\right)
\]
per definirlo davvero bene uno dovrebbe scomodare un qualche isomorfismo con l'algebra di Clifford \(C\ell(2, \mathbb{C})\).

E sì, gli autovalori di $A$ ovviamente dipendono da $\hat n$. Però attento

Poi so che ogni funzione di A si può scrivere come una somma finita di potenze di A,

Questo è falso: $\exp(A)$ non è razionale in $A$.

[Deimos90rm]

Pensa te... il mio libro non specifica "ogni funzione razionale di A", ma solo "ogni funzione".
Comunque potrei scrivere gli autovalori in termini delle componenti incognite di n, e visto che è un versore le incognite si riducono a due. Nella matrice che hai scritto cosa rappresentano $ n_1,n_2,n_3,n_4 $ ?