Funzione continua $\mathbb{R}->\mathbb{R}$

[ale.b14]

Data $f:\mathbb{R}->mathbb{R}$ siano $M(k):={x\in\mathbb{R}|f(x)>k}$, $m(k)={x\in\mathbb{R}|f(x)
Allora... Se $f$ è continua, l'apertura di $M(k)$ e di $m(k)$ $\forall k\in\mathbb{R}$ segue dal teorema della permanenza del segno.
Qualche idea per il viceversa??

[Pappappero1]

Prova a scrivere $M(k)$ e $m(k)$ come retroimmagine di certi insiemi tramite $f$, e poi fai vedere che tali insiemi sono una base per gli aperti di $\RR$.

[Paolo902]

Manetti?

[dissonance]

Questo si risolve riflettendo un po' sul concetto di sottobase (che Paolo conosce bene). La famiglia

\[\mathscr{F}=\{m(k), M(k) \mid k \in \mathbb{R}\}\]

è una sottobase della topologia di \(\mathbb{R}\), ovvero ogni aperto di \(\mathbb{R}\) si può ottenere come unione di intersezioni finite di elementi della famiglia. E' una versione più debole di una base; precisamente,

\[\mathscr{F} \cup \{A_1 \cap A_2 \cap \ldots A_n \mid A_j \in \mathscr{F},\ n \in \mathbb{N}\},\]

la famiglia ottenuta aggiungendo ad \(\mathscr{F}\) tutte le possibili intersezioni finite di suoi elementi, è una base.

Il concetto è utile perché per dimostrare che una funzione \(f \colon X \to \mathbb{R}\) è continua sarà sufficiente mostrare che \(f^{-1}(A)\) è aperto in \(X\) per \(A\) appartenente alla sottobase \(\mathscr{F}\). L'esercizio chiede di dimostrare proprio questo criterio.