Funzione concava o convessa?
ciao a tutti,
sto preparando un esame di mat per l'economia
ho la seguente funzione f(x,y)=x^1/2 * y^1/3
attraverso la condizione di primo e secondo ordine devo verificare se la funzione è concava o convessa....
tramite la condizione di secondo ordine, costruendomi la matrice hessiana e analizzando i minori principali di nord ovest (uno positivo e uno negativo) ho trovato che la matriche è definita negativa di conseguenza la funzione è concava.
ho però dei problemi con la condizione di primo ordine:
la regola mi dice che una funzione è concava su U se per ogni x e y risulta che
f(y)-f(x)x)(y-x)
non riesco proprio ad applicare questa regola alla mia funzione, nel mio libro gli esempi sono veramente scarsi...
gli x e y a cui devo fare riferimento sono quelli della funzione o devo prendere due punti qualsiasi? in tal caso mi sa che mi sfugge qualcosa.....
Grazie in anticipo per l'aiuto
Ele
(P:S: scusatemi se non uso le opzioni del forum per scrivere le formule ma non ci so proprio mettere mano!)[/spoiler]
sto preparando un esame di mat per l'economia
ho la seguente funzione f(x,y)=x^1/2 * y^1/3
attraverso la condizione di primo e secondo ordine devo verificare se la funzione è concava o convessa....
tramite la condizione di secondo ordine, costruendomi la matrice hessiana e analizzando i minori principali di nord ovest (uno positivo e uno negativo) ho trovato che la matriche è definita negativa di conseguenza la funzione è concava.
ho però dei problemi con la condizione di primo ordine:
la regola mi dice che una funzione è concava su U se per ogni x e y risulta che
f(y)-f(x)
non riesco proprio ad applicare questa regola alla mia funzione, nel mio libro gli esempi sono veramente scarsi...
gli x e y a cui devo fare riferimento sono quelli della funzione o devo prendere due punti qualsiasi? in tal caso mi sa che mi sfugge qualcosa.....
Grazie in anticipo per l'aiuto
Ele
(P:S: scusatemi se non uso le opzioni del forum per scrivere le formule ma non ci so proprio mettere mano!)[/spoiler]
Risposte
Io tendo a ragionare in questi termini:
sia $f: RR^n\toRR$ differenziabile. Questo significa che si può approssimare al primo ordine l'incremento della funzione, così:
$f(x+h)=f(x)+nabla_{f} (x)*h+o(|h|)$ come certamente saprai, anche se magari hai usato dei simboli diversi. Ma la sostanza è certamente questa.
Ora la nostra funzione $f$ è convessa se e solo se questa approssimazione è per difetto, nel senso che:
$f(x+h)>=f(x)+nabla_{f} (x)*h$
ed è invece concava se e solo se l'approssimazione è per eccesso, nel senso che:
$f(x+h)<=f(x)+nabla_{f} (x)*h$.
Queste cose si ricordano meglio pensandole da un punto di vista geometrico (qui prendo ad esempio una funzione convessa):
Questo è il grafico di una funzione di due variabili. Geometricamente, l'"approssimazione al primo ordine" corrisponde all'approssimare il grafico della funzione con il piano ad esso tangente; prova ad immaginare il piano tangente a questo cupolone (il nome corretto è paraboloide) in un punto qualsiasi e ti renderai conto che "sta sempre al di sotto" della superficie. In termini numerici, l'approssimazione è per difetto e non ci stupisce: questo è il grafico della funzione $f(x, y)=x^2+y^2$, lascio a te la facile verifica che si tratta di una funzione convessa.
sia $f: RR^n\toRR$ differenziabile. Questo significa che si può approssimare al primo ordine l'incremento della funzione, così:
$f(x+h)=f(x)+nabla_{f} (x)*h+o(|h|)$ come certamente saprai, anche se magari hai usato dei simboli diversi. Ma la sostanza è certamente questa.
Ora la nostra funzione $f$ è convessa se e solo se questa approssimazione è per difetto, nel senso che:
$f(x+h)>=f(x)+nabla_{f} (x)*h$
ed è invece concava se e solo se l'approssimazione è per eccesso, nel senso che:
$f(x+h)<=f(x)+nabla_{f} (x)*h$.
Queste cose si ricordano meglio pensandole da un punto di vista geometrico (qui prendo ad esempio una funzione convessa):
Questo è il grafico di una funzione di due variabili. Geometricamente, l'"approssimazione al primo ordine" corrisponde all'approssimare il grafico della funzione con il piano ad esso tangente; prova ad immaginare il piano tangente a questo cupolone (il nome corretto è paraboloide) in un punto qualsiasi e ti renderai conto che "sta sempre al di sotto" della superficie. In termini numerici, l'approssimazione è per difetto e non ci stupisce: questo è il grafico della funzione $f(x, y)=x^2+y^2$, lascio a te la facile verifica che si tratta di una funzione convessa.
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