Funzione [Applicazione lineare]
Ho una funzione da $R^3$ a $R^2$ e voglio sapere se è lineare e se è iniettiva, suriettiva o invertibile e calcolare la retro-immagine $f^-1(0,0)$.
-$f (x,y,z)=(y+z,x+y)$-->lineare.
Dalla funzione mi trovo la matrice che la rappresenta: $M=((0,1),(1,1),(1,0))$ la cui matrice ridotta a scalini(o squadra) è $M=((0,1),(0,0),(1,0))$ ho quindi che il rango di M è 2 e che la base dell'immagine di M forma una base per $R^2$.
Essendo il rango 2 avrò che la funzione è iniettiva e non suriettiva, direi che non è invertibile, in quanto per esserlo deve essere biiettiva.
Di conseguenza non posso calcolare $f^-1(0,0)$.
Tornano i miei ragionamenti?
-$f (x,y,z)=(y+z,x+y)$-->lineare.
Dalla funzione mi trovo la matrice che la rappresenta: $M=((0,1),(1,1),(1,0))$ la cui matrice ridotta a scalini(o squadra) è $M=((0,1),(0,0),(1,0))$ ho quindi che il rango di M è 2 e che la base dell'immagine di M forma una base per $R^2$.
Essendo il rango 2 avrò che la funzione è iniettiva e non suriettiva, direi che non è invertibile, in quanto per esserlo deve essere biiettiva.
Di conseguenza non posso calcolare $f^-1(0,0)$.
Tornano i miei ragionamenti?
Risposte
Ecco i miei appunti sul tuo svolgimento:
- la matrice non è quella che hai scritto, bensì la sua trasposta $M=((0,1,1),(1,1,0))$
- il rango è $2$ come dici tu, dunque $dim (Im f )=2=dim\mathbb{R}^2$ allora l'applicazione è suriettiva
- per il teorema del rango si ha $3=dim(Ker f) + dim (Im f)$ dunque $dim (Ker f)=1$ quindi l'applicazione non è iniettiva e di conseguenza nemmeno biettiva
- essendo suriettiva, certo è possibile calcolare $f^{-1}(a,b)$ per qualunque vettore $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. Per farlo, nel tuo caso, bisogna risolvere il sistema lineare
$M((x),(y),(z))=((0),(0))$ (otterrai poi, se ci pensi, $Ker f$!)
Paola
- la matrice non è quella che hai scritto, bensì la sua trasposta $M=((0,1,1),(1,1,0))$
- il rango è $2$ come dici tu, dunque $dim (Im f )=2=dim\mathbb{R}^2$ allora l'applicazione è suriettiva
- per il teorema del rango si ha $3=dim(Ker f) + dim (Im f)$ dunque $dim (Ker f)=1$ quindi l'applicazione non è iniettiva e di conseguenza nemmeno biettiva
- essendo suriettiva, certo è possibile calcolare $f^{-1}(a,b)$ per qualunque vettore $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. Per farlo, nel tuo caso, bisogna risolvere il sistema lineare
$M((x),(y),(z))=((0),(0))$ (otterrai poi, se ci pensi, $Ker f$!)
Paola
grazie mille per la risposta!
Quindi se è suriettiva è sempre invertibile.
Quindi se è suriettiva è sempre invertibile.
scusate se torno sull'argomento ma mi sono improvvisamente presi dei dubbi stupidi che richiedono cinque secondi per una risposta da parte vostra:
$f(x,y,z)=(x+y,x+y+z+1)$ è lineare? avrei detto che è affine a causa di quell' ''1'' che compare nella funzione...
$f(x,y,z)=(x+y,x+y+z+1)$ è lineare? avrei detto che è affine a causa di quell' ''1'' che compare nella funzione...
No, per essere invertibile deve essere suriettiva e iniettiva allo stesso tempo. Quando data un'applicazione lineare $f:V\to W$ ti trovi a dover calcolare $f^{-1}(w)$ di un dato $w\in W$, hai due casi possibili sempre:
1. $w\notin Im f \Rightarrow f^{-1}(w) =\emptyset$
2. $w\in Im f\Rightarrow f^{-1}(w)$ sarà la soluzione del sistema lineare $f(v)=w$ (in generale è un sottoinsieme di $V$, non necessariamente un singolo vettore: dipende da quante soluzioni ha il sistema).
Si può parlare di $f^{-1}$ anche quando la funzione non è invertibile. Per definizione infatti, $f^{-1}(w)$ è il sottoinsieme di $V$ così definito: ${v\in V : f(v)=w}$.
Sull'ultimo post: l'applicazione non è lineare in quanto $f(0)\ne 0$ (cosa richiesta ad ogni applicazione lineare).
Paola
1. $w\notin Im f \Rightarrow f^{-1}(w) =\emptyset$
2. $w\in Im f\Rightarrow f^{-1}(w)$ sarà la soluzione del sistema lineare $f(v)=w$ (in generale è un sottoinsieme di $V$, non necessariamente un singolo vettore: dipende da quante soluzioni ha il sistema).
Si può parlare di $f^{-1}$ anche quando la funzione non è invertibile. Per definizione infatti, $f^{-1}(w)$ è il sottoinsieme di $V$ così definito: ${v\in V : f(v)=w}$.
Sull'ultimo post: l'applicazione non è lineare in quanto $f(0)\ne 0$ (cosa richiesta ad ogni applicazione lineare).
Paola
ok! grazie mille!
non sapevo che si potesse parlare di funzione inversa anche quando non è invertibile! xD
non sapevo che si potesse parlare di funzione inversa anche quando non è invertibile! xD
Infatti $f^{-1}$ in generale non è una funzione.
Ricorda infatti che la definizione di funzione $g:A\to B$ ($A,B$ insiemi qualunque) richiede, tra le condizioni, che ad un elemento di $A$ sia assegnato solo un elemento di $B$... cosa che, come spiegato sopra, non avviene in generale! Come ti dicevo $f^{-1}(w)$ è, in generale, un insieme, cioè $f^{-1}$ "assegna" al valore $w$ un intero insieme e non un solo valore (se non in casi particolari).
Te la metto giù in modo ancora più completo. Guardiamo la definizione generale di funzione: dati due insiemi $A, B$, una funzione $g:A\to B$ è una relazione che ad ogni elemento $a$ di $A$ assegna un solo elemento di $B$.
Ora, in generale si può sempre definire l'entità $g^{-1}$ nel seguente modo: dato $b\in B$, definiamo
$g^{-1}(b)={a\in A : g(a)=b}\subset A$.
Quand'è che accade che $g^{-1}$ è una funzione $B\to A$? Solamente quando $g$ è biettiva, cioè iniettiva e suriettiva. Infatti le conseguenze di questi due suoi aspetti sono le seguenti (fatti in testa il disegnino con gli insiemi e le freccettine):
- se $g$ è suriettiva, accade che $g^{-1}(b)\ne \emptyset$ per ogni $b\in B$, perché la suriettività garantisce che tutti gli elementi del codominio $B$ siano "coinvolti". In altre parole, questo ti dice che $g^{-1}$ rispetta il "ad ogni" nella definizione di funzione!
- se $g$ è iniettiva, accade che $g^{-1}(b)$ è sempre o l'insieme vuoto (caso escluso come dicevo sopra dalla suriettività) oppure un singolo elemento di $A$, se ci pensi. Infatti l'iniettività ti garantisce che non succeda mai che due elementi distinti di $A$ vadano a finire sullo stesso elemento di $B$. Questo ti dice che $g^{-1}$ rispetta il "un solo" nella definizione di funzione.
Spero che ora sia tutto chiaro!
Paola
Ricorda infatti che la definizione di funzione $g:A\to B$ ($A,B$ insiemi qualunque) richiede, tra le condizioni, che ad un elemento di $A$ sia assegnato solo un elemento di $B$... cosa che, come spiegato sopra, non avviene in generale! Come ti dicevo $f^{-1}(w)$ è, in generale, un insieme, cioè $f^{-1}$ "assegna" al valore $w$ un intero insieme e non un solo valore (se non in casi particolari).
Te la metto giù in modo ancora più completo. Guardiamo la definizione generale di funzione: dati due insiemi $A, B$, una funzione $g:A\to B$ è una relazione che ad ogni elemento $a$ di $A$ assegna un solo elemento di $B$.
Ora, in generale si può sempre definire l'entità $g^{-1}$ nel seguente modo: dato $b\in B$, definiamo
$g^{-1}(b)={a\in A : g(a)=b}\subset A$.
Quand'è che accade che $g^{-1}$ è una funzione $B\to A$? Solamente quando $g$ è biettiva, cioè iniettiva e suriettiva. Infatti le conseguenze di questi due suoi aspetti sono le seguenti (fatti in testa il disegnino con gli insiemi e le freccettine):
- se $g$ è suriettiva, accade che $g^{-1}(b)\ne \emptyset$ per ogni $b\in B$, perché la suriettività garantisce che tutti gli elementi del codominio $B$ siano "coinvolti". In altre parole, questo ti dice che $g^{-1}$ rispetta il "ad ogni" nella definizione di funzione!
- se $g$ è iniettiva, accade che $g^{-1}(b)$ è sempre o l'insieme vuoto (caso escluso come dicevo sopra dalla suriettività) oppure un singolo elemento di $A$, se ci pensi. Infatti l'iniettività ti garantisce che non succeda mai che due elementi distinti di $A$ vadano a finire sullo stesso elemento di $B$. Questo ti dice che $g^{-1}$ rispetta il "un solo" nella definizione di funzione.
Spero che ora sia tutto chiaro!
Paola
Grazie per la disponibilità e per la completezza delle risposte! Adesso è tutto molto chiaro!
=D
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