Funzionale lineare

[GuidoFretti1]

Dimostrare che se $A$ è un aperto e $S$ è un funzionale lineare non identicamente nullo, allora $S(A)$ è aperto.

La mia idea di ragione è stata questa: un unione di aperti è aperta, per cui $AA x in A$ considero la bolla $B(S(x),r_x)$ , dove $S(x)$ è il centro e $r_x$ è il raggio della bolla e dipende dalla $x$ considerata.
Allora $S(A)= uuu_{x in A} B(S(x),r_x)$ e quindi è aperto perché ogni bolla è aperta.

Qualcuno mi può dire se ho fatto correttamente?

Grazie

[otta96]

No, lo devi dimostrare che per ogni $x\inAEEr_xB(S(x),r_x)\subseteqS(A)$.

[GuidoFretti1]

Allora a livello di idea mi è chiaro che esista sempre una bolla e un raggio tale che posso coprire tutto $S(A)$ con le bolle...ma a livello teorico di dimostrazione non avrei idea di come procedere...

Siccome $A$ è aperto sicuramente per ogni $x in A$ esiste $r$ tale che $B(x,r) sube A$
Poiché poi $S$ è identicamente non nullo, allora $S(x)$ è ben definito...ma poi non saprei come dimostrare l'esistenza di $r_x$ non a livello di idea

[otta96]

Comunque questo è un teorema abbastanza importante e non facilissimo. Lo puoi trovare da tante parti, anche Wikipedia sotto il nome di torema della mappa aperta, magari è meglio studiarlo che cercare di farlo come esercizio, specie se dopo qualche tentativo non ci si riesce.

[GuidoFretti1]

conosco il nome del teorema, ma qui $S$ non è suriettivo.
Quindi non è esattamente il teorema della mappa aperta

Grazie

[otta96]

Sicuro non sia suriettivo?

[GuidoFretti1]

Non riesco a capire perché non identicamente nullo implichi suriettivo.
Ma è un problema di comprensione mio... non sto dicendo che sia sbagliato

[otta96]

Metti bene a fuoco quale è il condominio, e di che tipo sono le immagini di funzioni di questo tipo.

[GuidoFretti1]

Onestamente ci ho ragionato quasi 2 giorni, ma con quei pochi dati che ho non riesco ad immaginare cosi bene il condominio di $S$ e il tipo di immagini che fa ottenere per poter dire che $S$ è suriettivo

[otta96]

Il codominio è $RR$ (o $CC$ se stai considerando uno spazio vettoriale su $CC$).

[GuidoFretti1]

Ho capito...Quindi sostanzialmente $S$ così definito è suriettivo e quindi posso applicare mappa aperta?

È fondamentale per dire che è suriettiva dire che $S$ non è identicamente nulla ed ha codomio tutto $RR$

[otta96]

Si esatto.